確率 Ａさんはｎ回Ｂさんはｍ回先にじゃんけんに勝つと勝利

質問

Ａさんはｎ回Ｂさんはｍ回先にじゃんけんに勝つと
はじめて勝利とみなされる勝負をしたときにＡさんが
勝利する確立をｎとｍを用いて表わしたいのですが
どうもｎ≠ｍの時がわかりません。

どうやったら表わせるでしょうか

回答No.5

taisuke555

kony0さん、私の質問でもないのに、私の疑問に答えて頂きありがとうございます。
（本当は、私も質問であげればよかったのですが、便乗してしまいました）

＞キーワードは「同様に確からしいか？」
この部分が抜けていたのですね。
大変勉強になり、また大変すっきりしました。
（アドバイスで無いですけど、この場を借りさせていただきました。）
jet-ninjin321さん、すいませんでした。

回答No.4

kony0

#3さん

結論からいうと、その回答は残念ながら間違っています。
キーワードは「同様に確からしいか？」

“○○○○”が発生する確率は、(1/2)^4=1/16
“××○○○○”が発生する確率は、(1/2)^6=1/64
となり、この２つが発生する確率は「同様に確からしくない」です。

で、消化試合を考慮して、
“○○○○”が発生する確率を、
“○○○○○○”
“○○○○○×”
“○○○○×○”
“○○○○××”
が発生する確率の和ととらえる。

消化試合を考慮することで、すべての事象の発生確率を(1/2)^6=1/64で「同様に確からしい」ものとしたうえで、“○○○○”の発生確率は4/64と捉えるのが趣旨です。

m=1のときを考えると、#3さんの回答が間違っていることがすぐわかると思います。（Aが勝利するためには、n連勝するしかないので、求める確率は(1/2)^nです。これは1/(n+1)とは異なりますね）

なお消化試合を考慮する#2の解法は、少々特殊な技法と思われます。#1さんが回答されている「負の2項分布」を用いる解法は、この問題の基本中の基本になります。
特殊な解法を思いついたのは、2項係数のindex（試行回数）のほうにΣの添字iがあるのが嫌だなぁと思って、試行回数n+m-1回固定の解法を考えた・・・という趣旨があります。

回答No.3

taisuke555

jet-ninjin321さん　こんにちは。

間違った回答かもしれませんので、もし間違っていたら
どなたか教えてください。
（私の質問ではないのですが、どうしても腑に落ちないので）

例えば
Ａさんが４回、Ｂさんが３回先に勝つと勝利の時
Ａさんの勝つ組合せ：Ｂさんの勝つ組合せ
○○○○　　　　　：×××　　　
○○○×○　　　　：××○×　　
○○×○○　　　　：×○××　　
○×○○○　　　　：○×××　　
×○○○○　　　　：××○○×　
○○○××○　　　：×○×○×　
○○×○×○　　　：○××○×　
○×○○×○　　　：×○○××　
×○○○×○　　　：○×○××　
○○××○○　　　：○○×××　
○×○×○○　　　：××○○○×
×○○×○○　　　：×○×○○×
○××○○○　　　：○××○○×
×○×○○○　　　：×○○×○×
××○○○○　　　：○×○×○×
　　　　　　　　　：○○××○×
　　　　　　　　　：×○○○××
　　　　　　　　　：○×○○××
　　　　　　　　　：○○×○××
　　　　　　　　　：○○○×××
=6Ｃ4=15　　　　　：=6Ｃ3=20
ですからどちらかが勝利するまでの組合せは35通り
Ａさんが勝つ確立は15/35=3/7

(n+m-1)Ｃn/( (n+m-1)Cn + (n+m-1)Cm ) = m/(n+m)

ではいけないのでしょうか？
消化試合を考慮しなくてはいけない所がどうしてもわかりません。

回答No.2

kony0

勝負がついても（消化試合であっても）n+m-1回じゃんけんを必ず行うことにすれば、そのうちAがn回以上勝てばよい。（Bが勝つのが０～m-1回）
{Σ(i=0～m-1)n+m-1Ci}/2^(n+m-1)

#1さんの式は当然にあっているとして、上の式の考え方もあってると思います。

ところで上のΣの計算、難しいですねぇ。おそらく2^(m-1)とm+n-2次の多項式の和になるのではないかと思っています。（推測）

昔、ちょっと似ている計算を質問したことがあるのですが、今回のはm,nの２つがあり、これよりもさらに難しい感じです。（汗）

N(n,m)=Σ(i=0～m-1)n+m-1Ci
とおくと、
N(n,1)=1
N(1,m)=2^m-1
N(n,m)=N(n-1,m)+N(n,m-1)
N(n,m)=2^(n+m-1)-N(m,n)
２次元の漸化式かぁ・・・はぁ。。。誰か助けてください。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=248376

回答No.1

qcelp

Aさんが勝利するまでにじゃんけんする回数はn～n+m-1回だから
n+i-1Cn-1・(1/2)^(n-1)・(1/2)^i・(1/2)
をi=0からm-1まで加えたものでは？