合同式を使って証明したいのですが・・・

質問

A=an、an-1、…、a1（nやn-1や１は添え字です）という数がある時、次のことを証明したいのです。

(1)Aを３で割った余り＝（an＋an-1＋…＋a1）を３で割った余り
(2)（奇数桁目の合計）－（偶数桁数目の合計）＝Aを１１で割った余り

合同式の性質を使えば証明できるようなのですが、いまいちよく分かりません。
どなたか解き方と回答を教えて頂ければ、と思います。どうかよろしくお願いします。

回答No.1

noname#24477

整数の各位の数をanからa1とするということですね。

Ａ＝an*10^(n-1)＋・・・・・・＋a1

ここで１０＝９＋１とおいて2項展開すればわかります。
３による合同式を考えるのも同じことです。
2項展開の代わりに10^k－１＝９９９９・・・
で９の倍数（もちろん３の倍数）というのも良いでしょう。

１１のときは１０＝１１－１でＯＫ