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階乗

これの(2)を詳しく教えて欲しいです(´・ω・`)

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  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)
回答No.3

「50!が3^nで割り切れるような自然数nの最大値を求めよ。」であれば 1~50の中の3の倍数は  1≦3n≦50  0.33…≦n≦16.6…  1≦n≦16 であるから16個ある。 その16個のうち3×3=9の倍数は  n=3mとおいて  1≦3m≦16  0.33…≦m≦5.33…  1≦m≦5 であるから5個ある。 その5個のうち3×3×3=27の倍数は  m=3kとおいて  1≦3k≦5  0.33…≦k≦1.66…  k=1 であるから 1個ある。 以上から  50!には素因数3が 16+5+1=22個 含まれることが分かる。 (答え) nの最大値は22 (答え) 22

  • fluidicB
  • ベストアンサー率46% (23/49)
回答No.2

私もよく見えないのですが、問題文は  50!が3^nで割り切れるような自然数nの最大値を求めよ。 で合ってますか? 言い換えると、50!を素因数分解して、3の因数が何個かってことです。 ちょっと話を簡単にこれが7!についての質問だったら 7! =7x6x5x4x3x2x1 =7x(3x2)x5x(2x2)x3x2x1 なので3は2回出てきますね。 なのでその場合は答えがn=2になるのよ、 っていうタイプの問題。 では本来の問題である50!について同じように考えてみると 50! =50x49x48x47x...  やってられません。 ちょっと整理して考えてみると、 7!は1から7までの整数に3の倍数はいくつあるか、 って問題と(ほぼ)同じ意味でした。 そう考えてみましょう。 1から順に数えて48が16番目の「3の倍数」です。 じゃあ答えはn=16? いやちょっと違います。 一つの整数を素因数分解したときに3が複数でてくるケースがあります。 9!について考えるなら9は3番目の3の倍数ですが、 答えはn=3じゃなくて7!に3x3x8をかけるので 3の因数は2つ増えますよね。なのでn=4 50までに9の倍数が5つあります。 さらに3の因数を3つ含む数で一番小さいのは27。 27の倍数は27一つしかありません。 4つ含む数で一番小さいのは81。 5つ以上含む数も50以下にないですね。 というわけで (3の倍数の数)+(9の倍数の数)+(27の倍数の数) =22 答えは22 なお、大人になったらこういう面倒なことは 数学処理ソフトに任せてしまえば立ちどころに答えがでます。 フリーソフトのMaximaなら factor(50!); と入力すると素因数分解してくれて, 50!=2^47 x 3^22 x 5^12 x 7^8 x 11^4 x 13^3 x 17^2 x 19^2 x 23^2 x 29 x 31 x 37 x 41 x 43 x 47 です。 なので3については3^22で割り切れますね。3^23では割り切れません。 3^nのnの最大値は22が答えです。

  • spring135
  • ベストアンサー率44% (1487/3332)
回答No.1

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