ゼノンの逆理について。

質問

有名なゼノンの逆理のひとつアキレスと亀の問題の解説のひとつに、「無限に足していくことはできるが最終的に和２を持つから追いつく」というものがありました。
つまり、「アキレスの1/2の速度を持つ亀を、アキレスが追い越すとき、その計算は1+1/2+1/4+・・・と無限に加算することとなるが、和２を持つので追いつく」ということです。
ここで数学が素人の私は、無限に続くのになんで和２を持つと証明できるの？と思ってしまいます。
ずーっと加算していっても、永遠に到達できない点が無限である所以ではないのでは？という（屁）理屈です。
1億桁計算しても、1京桁計算しても、１不可思議桁計算しても２ではないのなら、なぜ２と言えるのか？そもそも無限に計算することなんて無理なのでは？

どこを誤解してるのでしょう？

これが無限と言うものであるのであれば、他の対象を取り扱った無限、例えば熱力学第３法則（でしたっけ？）「有限回数の操作で絶対零度に到達することは不可能」というのは、無限回数の操作では到達できると言うことで、アキレスの問題でできるなら絶対零度だってと思ってしまいます。

私の誤解を一刀両断にしてくれる回答をお待ちしております。

回答No.7

happy_people · ベストアンサー

「限りなく透明に近いブルー」が「ブルー」か「無色」かというと、
Ｂ＝ブルーのインクの量
Ｗ＝水の量
としたときに、
「Ｗ→∞のときＢ／Ｗ→０（つまり無色）」とは言えるけど、
「Ｗ＝∞のときＢ／Ｗ＝０（つまり無色）」とは言えないのです。
「→∞」はＯＫだけど「＝∞」はＮＧなのです。

お礼

何度もご登場いただき恐縮です。
補足のほうもご覧ください。

補足

なるほど。
いまいち→の時と＝の時の本質的な違いがわからないですが、→の方は「極限に持っていったとき」と解釈するのだと思います。
極限は無色。でも水の量が無限大の時は無色ではない。私にはこの辺の解釈にも誤解がありそうです。
ありがとうございます。

回答No.1

happy_people

秒速2mのアキレスと、秒速1mの亀、亀はアキレスの2m手前からスタート、とすると、

ゼノンの言い分は、
スタート1秒後：アキレスは亀のスタート位置、亀はその1m前
そこから0.5秒後：アキレスは亀のスタート位置＋1m、亀は0.5m前
そこから0.25秒後：アキレスは亀のスタート位置＋1.5m、亀は0.25m前
・・・
だからアキレスは亀に追いつけないというものですね。
この計算を無限に進めると「スタートから2秒後にアキレスは亀に追いつく」が求まります。「スタートから2秒後」がミソです。有限時間です。

別の言い方をすれば、ゼノンは「２秒未満ではアキレスは亀に追いつけない」といっているに過ぎないのです。

一方絶対零度の方は、毎回の操作は同じ時間と考えるのですよね。
1回目の操作：絶対Ｘ度
2回目の操作：絶対Ｘ/２度
3回目の操作：絶対Ｘ/４度
・・・
この計算を無限に進めると「無限回の操作で絶対零度」になります。しかし、この場合、必要な時間が有限ではないのです。

２回目以降の操作が前回の操作の半分の時間になるなら、アキレスが亀に追いつくのと同様に、有限時間で絶対零度にたどり着けます。

お礼

深夜にも拘らず素早いご回答どうもありがとうございます。
補足の方もご覧ください。

補足

なるほど。
まず、熱力学第３法則？はなぜ真なのかは理解できました。ゼノンの方が有限時間の中で無限に計算するのに対し、到達するのに使う時間が無限だからと言うことですね。しかし、

♪この計算を無限に進めると「スタートから2秒後にアキレスは亀に追いつく」が求まります。

無限回計算をするのに、なぜしゅるしゅると「２」と言う解に到達するのが理解できません。人間の神経伝達速度より速い、コンピュータの計算をつかさどるパルスの速さをもってしても、計算する回数が無限なら、なぜ解が有限時間になるのでしょうか？
あの、一応弁解しますが、私ももちろん本気で追いつけないとは思っていないんです（当たり前ですが）。でも、無限を考えるとどうも論理的帰結に矛盾が生じると感じてしまうんです。
無限を数えることはできても（アレフ・ゼロ）無限に数えることはできない・・・と思ってます。