- ベストアンサー
4項間漸化式
ふとした拍子で、次のような漸化式が出てきてしまいました。 ことの発端はこの問題です。 「n枚の硬貨を1列に並べるとき、表が3枚以上続かない場合の数を求めよ。」 n=1のとき 2通り n=2のとき 4通り n=3のとき 7通り(○○○を除く) n=4のとき 1回目が×だと残りの樹形図はn=3と同じ。 ○××× ││└○ │└○× │ └○ └○×× └○ さらにこの樹形図が加わるので、全部で13通り これを眺めていると、 ○×で始まるときは残りはn=2のときと同じなので4通り ○○×で始まるときは残りはn=1のときと同じなので2通り。 つまり、4番目は、以前の3つの和であることが推測されます。 これを踏まえたうえでn=5を考えると、 1枚目が×のときは残りの樹形図はn=4のときと同じはず。 ○×となったときは残りの樹形図はn=3のときと同じはず。 ○○×となったときは残りの樹形図はn=2のときと同じはず。 ですよね。 Q1 まず、この推測が正しいかどうかがわかりません。 正しいと仮定して続けさせていただきます。 n枚の硬貨を並べるとき、表が3枚以上続かない場合の数をA(n)とすると、 A(n+3)=A(n+2)+A(n+1)+A(n) という4項間漸化式が出てきてしまいます。 Q2 3つだったらフィボナッチなのですが、これは何か名前があるのでしょうか?もう、誰かが解いていますか? 一応途中まで頑張っているのですが字数の関係で表現できません。よろしくお願いします。
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
関連するQ&A
- 3項間漸化式について
3項間漸化式を解くときには、特性方程式を用いるのが定石だと思いますが、いろんな参考書を見ると、pa(n+2)=qa(n+1)+ra(n) (pqr≠0)となっています。一回、q=0のとき、特性方程式を用いたのですが、(たぶん)漸化式の条件を満たしていました。q≠0の必要性ってあるんですか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2項間漸化式のある解き方で悩んでいます。
【問】 A(1)=1,A(n+1)=2A(n)+n+1 (n≧1) で定まる数列{A(n)}の一般項を求めよ。 このパターンの問題の解き方を塾で習いました。 A(n+2)の式を作ってA(n+1)の式を引くというやり方なのですが、自分でやってみたところうまくいかないので、間違っている点を指摘してください。 A(n+2)=2A(n+1)+n+2 から A(n+1)=2A(n)+n+1 を引くと A(n+2)-A(n+1)=2{A(n+1)-A(n)}+1 となり、 ここで、A(n+1)-A(n)=B(n) とおくと、上の式は、 B(n+1)=2B(n)+1 と表せる。 B(1)=2+1+1-1=3 なので、 B(n)=3・2^(n-1)-1 となる。よって、 A(n+1)-A(n)=3・2^(n-1)-1 である。 A(n+1)-A(n)=3・2^(n-1)-1 から A(n+1)-2A(n)=n+1 をひくと、 A(n)=3・2^(n-1)-n-2 となる。 と解いてみたのですが、正解は、 A(n)=2^(n+1)-n-2 なのです。 どこが間違っているのでしょうか?? なんかB(n)の漸化式を解くところから違ってきてる気はするのですが。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 漸化式の一般項の求め方を教えてください。
漸化式 a(n+1) = {(n+3)/(n+4)} * a(n) +1 のように、a(n)の前にnの関数が付いている場合の 一般項の求め方を教えていただけないでしょうか? かなり検索してみたのですが、見つけられませんでした。 よろしくおねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 3項間漸化式
3項間漸化式 a(1)=1,a(2)=2,3a(n+2)-4a(n+1)+a(n)=0(n=1,2,3,...)で定義される数列を{a(n)}とするとき、次の問いに答えよ 壱,a(n+2)=a(n+1)+2a(n)をa(n+2)-αa(n+1)=β<a(n+1)-αa(n)>と変形するとき、係数α,βの値を求めよ 弐,a(n)をnの式で表せ という問題で、(1)は出来たのですが、(2)の途中からがわかりません。 壱は、α=-1,β=2 , α=2,β=-1 が答えになります 弐 α=-1,β=2とすると、 a(n+2)+a(n+1)=2<a(n+1)+a(n)> a(2)+a(1)=2 ←この部分が何故こうなるかがわかりません。 以下略 右辺の<>の部分で左辺を割ったのですか・・・? 形が似ているからなんとなく、そう思うのですが、不安です。 そもそも、a(1)=1,a(2)=2 だから、これって成り立たないのではないのですか? 教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- だれか隣接3項間漸化式について教えてください。
中年男性です。いま数列の勉強をしています。「なるほど高校数学 数列の物語」という読本を 読んでいるのですが、手に負えないので質問させてもらいました。 漸化式 A1=2, A2=3, An+2=5An+1-6An n>=1 ・・・(1) を満たす数列が特性方程式X^2=5X-6の解 X=2、X=3 から 2^n-1 と3^n-1に なることは実際に確かめて確認して納得したのですが、続くくだりから判らなくなって しまいました。 そのくだりとは“そこで次に問題となるのが、上記のような等比数列以外にこの 漸化式を満たす数列があるのか、ということです。 結論からいうと、特性方程式が異なる2つの解をもつときは、特性方程式の解を 公比とする等比数列の組み合わせを考えるだけで十分です。このことは次の ようにして判ります・・・” と書いてあり特性方程式の解以外にないことの証明が始まるものと期待して読み進めたの ですが、漸化式の変形が始まり結局 An+1-2An=(A2-2A1)3^n-1 n>=1 ・・・(2) An+1-3An=(A2-3A1)2^n-1 n>=1 ・・・(3) という式になり、(2)式から(3)式を引くことで、 An=(A2-2A1)3^n-1-(A2-3A1)2^n-1 n>=1 となり、条件A1=2、A2=3を代入して一般項は An=-1×3^n-1+3×2^n-1 n>=1 ・・・(4) となりました。 これで特性方程式の解から導かれる数列以外に解がないことの 証明になるのでしょうか。また数列2^n-1や数列3^n-1が漸化式を 満たすことはすでにnに1、2、3・・・と代入して確認したのですが 一般項が(4)式であるということはどういうことなのでしょうか。 (4)式にnに1、2、3・・・と代入して確認していませんが(成立するのでしょうが) このあたりの事情がよく判りません。 どなたか解説して戴けないでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 3項間漸化式の変形について
3項間漸化式の変形をするときに、 a_(n+2)-αa_(n+1) = β(a_(n+1)-αa_n) と変形できるのはなぜなのでしょう? どうして、その位置にαとβが出てくるのかが不思議です。 回答よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 「HL-L3230CDW」の印刷設定には、「印刷プレビュー」のチェックボックスがなく、印刷プレビューの機能が使えません。
- 対応しているソフトやドライバーのバージョンを確認し、最新のものに更新することで印刷プレビューを利用することができるかもしれません。
- 以前の機種「HL-3170CDW」では印刷設定に該当のチェックボックスがありましたが、HL-L3230CDWでは仕様が変更されている可能性があります。
お礼
ありがとうございます。なんとなくですが、見えてきました。 確率として考えれば、ご教授いただいたものに収束しそうですね。 ちなみにですが、元の漸化式を途中まで解いてみたところ、 A(n+2)+xA(n+1)+(1+x-xx)A(n) は公比1-xの等比数列です。 xは、xxx+2xx-2=0 の解で、うち実数であるものは-1<x<-3/4 なので、どうやら発散しそうです。 でも、なんだか見えてきました。残りは何とか頑張ります。ありがとうございました。