δ(t)をｔで微分

質問

1を逆ラプラス変換するとδ(t)になりますが、δ(t)をｔで微分すると値はどうなるのでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

えーと、まさかとは思うけれども、それでももしかしてひょっとして、

> δ(t)をｔで微分すると値はどうなる

というお尋ねの真意は「 ある式を逆ラプラス変換したらδ(t)をｔで微分したものになるような、そういう式は何？」ということなのかしらん？？
　そうだとするなら、コタエは
　　s
です。「δ(t)をｔで微分したもの」は(ANo.2に書いたように)微分演算子であり、そのラプラス変換はs。

回答No.2

stomachman

ANo.1の仰る通りっす。で、少なくとも |x|→∞で速く0に収束するような関数f(x)に対する畳み込み積分

　　∫{-∞～∞} f(x-t)δ(t) dt = f(x)

については、どんな定義でも同じこと。すると、

　　δ'(x) = (d/dx)δ(x)
　　f'(x) = (d/dx)f(x)

と書く事にすれば、δ'(x)の畳み込み積分は、部分積分法によって、

　　∫{-∞～∞} f(x-t)δ'(t) dt = ∫{-∞～∞} f'(x-t)δ(t) dt = f'(x)

という性質を満たす筈だと分かります。つまり、微分は「δ'(x) との畳み込み積分」として表せる訳です。

　なお、ご質問ではラプラス変換をお考えですから、扱うのは専ら t≧0 でだけ定義された関数g(t)たちだけなのかもしれません。けれどもそういう関数たちも、t＜0のときはg(t)=0なのだ、と思えば（つまり定義域を拡張してやれば）定義域の制約なしに扱えます。

回答No.1

info22_

δ(t)の定義の仕方も色々あるようにdδ(t)/dt=δ'(t)の定義の仕方も色々あってもおかしくありません。
定義がどうであれδ(t)の性質
1. δ(t)=∞(t=0のとき), =0(t≠0のとき)
2. ∫[-∞ → ∞]δ(t)dt=1
3. ∫[-∞ → ∞]δ(t-a)f(t)dt=f(a)
を満たすことは必須条件です。

δ関数δ(t)の性質を全て満たすようにδ'(t)を定義する必要があります。
例えば、
δ'(t)=lim(a→0+){δ(t+a)-δ(t-a)}
と定義するのもありでしょう。