有効電力の公式

質問

私が使用している参考書に

有効電力(P)=VIcosθ=I^2R

と、説いてあるのですが、
どうして、

VIcosθ=I^2R

が、成り立つのでしょうか？

ご回答よろしくお願いします。

回答No.8

kitamura3 · ベストアンサー

>>V=200、I=20、cosθ=0.8、√3≒1.7としたとき、5.44kWになってしまいます。
>>何が間違っていますか？

自信を持っては言えないですが、たぶん間違っています。

P=√3VIcosθの式の場合、Iが線電流です。線電流＝√３・相電流です。

ですので、

P=√3x200[V]x√3x20[A]x0.8=9.6[kW]

となります。

なぜこんな分かりにくい式を使うんでしょうか。
たぶん測定する場合は負荷の中の相電流は実際には測定できず
負荷に繋いでいるケーブルからクランプ式の電流計で測定するからですね。
http://www.hioki.co.jp/db/item/products/main/p1359018287_1.jpg（こういう奴で。）

再度正確に式を書くと、

相電圧Vp、相電流Ip、線間電圧Vl、線電流Ilとすると、
(Vp=Vlなので本来分けなくてもいいですが。)

相電圧、相電流で計算する場合は各相の有効電力の単純に３倍でいいので、

P=3VpIp・cosθ=3RIp^2

線間電圧、線電流で計算する場合はこの式を変形して、

P=3Vl・(Il/√3)・cosθ=√3VlIlcosθ

となります。

お礼

なるほど！これで謎が解けました！
式で求めた電流は相電流になるわけですね。
なので√3VIcosθの式では線電流に変換するためにI(相電流)に√3を掛ける必要があるということですね。
まだ電気工事士の勉強を始めて4日目ですが、これが基礎だと思うと先が思いやられます(^^;
また書き込みした際にはどうぞ宜しくお願いします！
ありがとうございました！

回答No.7

kitamura3

わかりました、たぶん。
VとIだけでなるRに掛かる電圧Vrと
インダクタンスLに掛かる電圧Vlを追加して
考えればどうでしょうか。

P=VIcosθの式のVは電源電圧あるいは
ＲとＬの両方の電圧を足したVr+jVlなんですね。

cosθあるいは無効電力でのsinθは
このVrを取り出すか、Vlを取り出すかの
演算子になっているということです。

電源電圧Vと電流i
電源電圧VとVrには位相差がありますが、
Vrとiには位相差はありません。

V=Vr+jVlの式で見ると分かりやすいでしょうか。
あるいはV=R・i+jωL・iの式で見ると。

いかがでしょうか。

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全然関係ありませんが電流（電子）になって気持ちで
抵抗を通る時と逆起電力を発生するコイルを通る時に
起きることをイメージすると私はちょっと理解しやすかったです。
随分復習になりました。この辺り学校で一番最初に教わるので
忘れてしまうんですよね。

補足

詳しいご説明ありがとうございます。
何となくですがイメージがつかめました。
因みに、P=√3VIcosθの式を使った時、どうしても9.6kWになりません。
V=200、I=20、cosθ=0.8、√3≒1.7としたとき、5.44kWになってしまいます。
何が間違っていますか？

回答No.6

EleMech

まず、cosθの意味を知る必要があります。
cosθとは、皮相電力から有効電力を抜き出すためのものです。
これは、三角関数の斜辺から底辺を求める方法の、
　b = c・cosθ
　（a：縦辺、b：底辺、c：斜辺）
から来ています。
これが、
　P = S・cosθ
　　= V・I・cosθ
です。

一方、
　P = I^2・R
というのは、単純にそこに流れる電流から導き出す方法です。
では、なぜこれに位相が含まれないかと言えば、それは P と R とが同相だからです。
つまり、有効電力と抵抗の間には位相が発生しないので、位相を考慮する必要がないという事です。

ちなみに、上記は次の方法で解明する事ができます。
　P = V・I・cosθ
　　= (I・Z)・I・(R / Z)
　　= I^2・R
この方法により、容易に等しい事が導き出せます。

お礼

お陰さまで解決できました！
ありがとうございました！

補足

詳しいご説明ありがとうございます。
つまりは、電力から導きだす時は位相差を考慮し、電流から導きだす時は位相差を考慮する必要がないと言うことですね。
勉強になります。

回答No.5

kitamura3

補足の件について追加で回答します。

>>デルタ三相200[V]交流回路の消費電力は？ただし、R=8[Ω]、X=[Ω]とする。
Xはたぶん６[Ω]でしょうか。

力率cosθ=R/(√(R^2+X^2))=8/(√(8^2+6^2))=0.8　です。
相電流IΔ=V/Z=200V/10Ω=20[A]。

これを使って

P=√3VIcosθ　
P=3(IΔ)^2R　　
(線電流I=√3x相電流IΔ)

の両方どちらを使っても有効電力P=9.6kWとなります。

補足

詳しい説明ありがとうございます。
ですが、まだ払拭できないのが、
力率で0.8ということは相位差があるということですよね？
なのに、同相の時の公式I^2Rを使用しても解けるのでしょうか？
ここの矛盾がわかりません。

回答No.4

kitamura3

すいません。自分もだいぶ勘違いしてました。
１５年以上前で仕事でも全く使いませんので。
勘違いしてたのか当時はわかっていたのか。

式を変形して理解するのと、
もとより有効電力は抵抗Rで消費される電力であることの
２つが頭に入っているとどうも理解しやすいようです。

単相交流で考えると、

有効電力P=VIcosθ=(IZ)・I・(R/Z)=I^2R　※Z=R/(√(R^2+X^2))

どうも力率cosθに意識がもっていかれるのですが、
有効電力が抵抗Rでの消費電力なのでリアクタンス分は
考えなくていいんですね。

三相交流も線電流＝√３・相電流で三相分３掛けたりしますが
基本は単相交流と同じに考えればいいようです。

いかがでしょうか？

回答No.3

U-Seven

式を変形すれば分かります。
純抵抗負荷で力率＝１、つまりcosθ＝１とします。

まず電流Ｉを求める事とします。
電流 Ｉ＝Ｖ÷Ｒ
この両辺にＲを掛けます、すると次式になります。
Ｉ×Ｒ＝Ｖ÷Ｒ×Ｒ

この右辺の÷Ｒと×Ｒは相殺されて無くなります。
Ｉ×Ｒ＝Ｖ

左右を入れ替えて Ｖ＝Ｉ×Ｒ
これを VIcosθ のＶ に代入します。
すると
Ｉ×Ｒ×Ｉ×cosθ

cosθ＝１ ですから、Ｉ×Ｒ×Ｉ×cosθ＝I^2R となります。

お礼

詳しいご説明ありがとうございました。

回答No.2

ooi_ocha

回路及び題意が不明なので何とも言えませんが、

回路が純抵抗＋インダクタンスで構成されていて、線電流と抵抗値が既値
で有る場合の有効電力は

各相の有効電力＝電流値の二乗×抵抗値　で計算できる。
3相分ですから、その3倍という事ではないでしょうか。

　この問題がどの水準の問題（電験or電気工事士or高校物理）なのかにより
アプローチ法が違うと思います。

お礼

お陰さまで解決できました！
ありがとうございました！

補足

ご回答ありがとうございます。
第二種電気工事士を目指しています。
「線電流と抵抗が既値である場合、各相の有効電力はI^2Rで計算できる」
これは、なぜそうなるのですか？
相位差が発生する回路でもリアクタンスは無視できるということでしょうか？

回答No.1

kitamura3

負荷が抵抗Rの場合、力率cosθ=1となるためです。

P=VIcosθ=I^2・Z・cosθの式から
インピーダンスZがR成分のみの場合I^2R(cosθ=1)

とか書くのが親切な書き方なのでしょう。

勝手な推測ですがその参考書の前の部分で
抵抗成分のみの場合電圧と電流は同相という説明が
あるのではないでしょうか？

補足

ご回答ありがとうございます。
確かに前説に抵抗のみの場合は同相の説明がありました。
ですが、三相交流回路の問題で、
デルタ三相200[V]交流回路の消費電力は？ただし、R=8[Ω]、X=[Ω]とする。
この問題の場合、抵抗とインダクタンスが直列接続されていますが、解こうとすると、どうしても力率が導き出せません。と、同時に有効電力も導き出せません。
そして、調べたところ、3I^2Rの公式を使用するとありました。
確かにこの公式を使うと解けるのですが、なぜ、抵抗＋インダクタンス回路なのに、この公式が使えるのでしょうか？