微分の問題

質問

次の関数のグラフの増減凹凸表を作成してください。ただし細かい値は空欄で可とします。ロピタルの定理を使ってください。

回答No.2

178-tall · ベストアンサー

y = 2x/(x^2 + 1) らしい…。

以下、
　y' = 2(x^2 + 1) -(2x)^2/(x^2 + 1)^2
　= -2(x^2 - 1)/(x^2 + 1)^2

　y'' = {-4x(x^2 + 1)^2 + 8x(x^2 - 1)(x^2 + 1) }/(x^2 + 1)^4
　　…　(ミスタイプ回避のためスキップ)
　= 4x(x^2 - 3)/(x^2 + 1)^3

y, y', y'' の零点を目安とした「増減表」もどきを…。

　x　　　-√3　　　-1　　　0　　　　1　　　 √3
　--　　　---　　　--　　　--　　　 --　　　---
　y　　　　　　　－　　　　 0　　　　＋
　y'　　　　＼　　　0　　　／　　　　0　　　＼
　y''　－　 0　　　＋　　　 0　　　　－　　　 0　　　＋

(見づらいのは、蒙御免)

回答No.1

vollgins

ロピタルの定理をどこで使うかがわからなかったのですが、

（ｆ（ｘ）／ｇ（ｘ））’＝ｆ’（ｘ）ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）ｇ’（ｘ）／ｇ（ｘ）＾２

の公式から、（http://www.st.chukyo-u.ac.jp/z186118/bibunsekibun_kasuya/3-2/3-2.html）の商の微分法というところをみてください。

ｙ’＝（－２ｘ＾２－２）／（ｘ＾４＋２ｘ＾２＋１）

ｘ＾４＋２ｘ＾２＋１＝（－２ｘ＾２－２）（－１／２ｘ＾２－１／２）

なので
※（－２ｘ＾２－２）で割るとでてきます。

ｙ’＝１／（－１／２ｘ＾２－１／２）
ｙ’＝－２／（ｘ＾２＋１）

ｙ’＝０となるところで増減が変化するのですが、（ｘ＾２＋１）＞０なので
常にｙ’＜０の、減少関数です。