Z[i]を（１＋i)Z[i]で割った環

質問

ガウス整数環Ｚ［ｉ］をイデアル（1＋i)Ｚ［ｉ］で割ったＺ［ｉ］/（1＋i)Ｚ［ｉ］はＺ/２Ｚ　と同相になると代数の本にありましたが、

１．（1+i)Ｚ［ｉ］は標準基底を用いて．（1+i)Ｚ［ｉ］≅（２、１＋i)　（同相）と書ける。
２．１だから、Ｚ［ｉ］/（1＋i)Ｚ［ｉ］≅Ｚ/２Ｚ　

とかいてありました。
どのように理解したらいいのかよく分かりません、ご教授お願いします。

回答No.2

ramayana · ベストアンサー

「同相」などと書いている時点で怪しい。ちゃんと理解したいなら、ご自分で手を動かした方がいいと思いますよ。

定義に従って Z[ｉ]/((1＋i)Z[ｉ]) の剰余類をすべて求めれば、Z/(2Z)と同型なことがすぐ分かるはず。

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（蛇足）

なお、その「代数の本」も、次の理由で怪しい。

（１）　(2, 1+i) は、「2 と 1+i で生成されるZ 加群」の意味だと思われるが、そうだとすると、１は、(1＋i)Z[ｉ] ≅ (2, 1+i) でなくて (1＋i)Z[ｉ] = (2, 1+i) としなくてはならない。すなわち、「同型」でなくて「等しい」としなければならない。ここが単に同型というだけでは、２が導けない。

（２）　１を上のように修正したとしても、そこから２を導く論法は、無駄に複雑。定義に従って剰余類を求める冒頭の方法のほうが簡単。（その本のストーリー展開上このような論法を使う必然性があったのかもしれないが、それは、ご質問の文面だけからは見えない。）

回答No.1

Tacosan

そこに書いてある記号や用語の意味は理解できていますか?