ゲーム理論のトリガー戦略について

質問

ぜひ教えてください。次の問題がわからなくて困っています。
ゲーム理論のトリガー戦略についての問題なのですが、
次の利得表において、
　　　　　　　　　　　　　Ｂ
　　　　　　　　協調　　　　　裏切り　　　　（左：Ａの利得、右、Ｂの利得）
　　協調　　（２０、２０）　（０、３０）
Ａ　裏切り　（３０、０）　　（１０、１０）

１回目は必ず協調、それ以降、（ｔ－１）回目に相手が裏切れば、ｔ回目以降は両方とも裏切るという無限回繰り返しゲームにおいて、（どちらも協調）が成立する割引因子ａを求めよ。
　という問題なのですが、答えは、０．５になるのだそうですが、導出過程がわかりません。どなたか教えていただけませんでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.1

moqmoqmoq

クールノー・ナッシュ均衡は（協調，協調）であることは理解しているでしょうか？
ここで求める割引因子とは協調しているほうが両者にとってより大きな利得が得ら
れる割引率のことです。

Aの行動を考えて見ます。
１回目は『協調』，２回目に『裏切り』とすると，２回目のBの行動はまだ『協調』
です。３回目からBも『裏切り』を選んでくるので，このときの利得は，

20a+30*(a^2)+10*(a^3)+10*(a^4)+.....=P

となります。
次に，AもBもずっと『協調』していたときの利得は，

20a+20*(a^2)+20*(a^3)+20*(a^4)+.....=Q

Q>Pであればよいのですから，これを等比数列の和の公式で計算すると，

a>1/2

となります。このとき両者は無差別になります。