日常生活における位相幾何学

質問

私は大学時代に位相幾何学のゼミに席をおいていましたが、数学を専攻していない（特に文系の）人に、「位相幾何学って？」ときかれると返答に窮してしまいます。身近な日常生活にたとえて説明したいのですが、思い浮かびません。どなたかいい案ありませんか？よろしくおねがいします。

回答No.5

apple-man · ベストアンサー

＞遠のいてからホントの面白さに最近、気がつきました。もっと勉強しておけばよかったなー

　今からでもやり直せばいいんじゃないですか？

歴史に残る学者でもフーリエのように
アマチュア数学者の部類に入る人も少なく
ありません。学会なんかに入り浸っていない
分、大学の先生たちなどは違った視点で
問題を解決できる可能性があると思います。

　位相幾何学で思い出したのですが、
ポアンカレ予想が解決された・・・かも
しれないようです。私も去年ここで
質問しておいてその後の情報を
知らないのですが・・・

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=600741

　あと、２年くらい前の千葉大学の公開講座だったと
思うのですが、社会人のためのコホモロジー
入門というのがありました。
　講座の名前を見ただけで、内容は知らないの
で、何で一般社会人にコホモロジーが役立つのか
想像もつかないのですが、去年あたりコホモロジー
に関する和書が２冊ほど出版されており、
何かこの分野も一般に人気が出てきてるようです。

　また物理学の世界で、位相幾何学は複素空間論と
共に殆ど必須の状態で、子供向けの科学番組にも
位相幾何学の概念についての説明が出てきて
います。

　最近見たThe Elegant Universe という
科学番組のＤＶＤ
http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/B0000ZG0TA/qid=1082880633/sr=8-2/ref=pd_ka_2/102-0197182-8334529?v=glance&s=dvd&n=507846

では、番組進行役で物理学者のブライアングリーン
さんが、カフェで取ってのついたコーヒーカップと
ドーナッツを片手に位相幾何学の話をして
ました。
　取って付きカップとドーナッツは位相幾何学的に
同じ。でもこーすると、と言ってドーナッツの
はじを食べてしまうんです。
　このＤＶＤでは、こんな感じで、ポスト現代物理学の
１つである超弦理論の話を進めて行きます。

　いろいろ面白そうですよね。
ですから私もちょっとのめり込んでいるんですが。

お礼

コホモロジに対しては私もちょっと興味がありましたが、何せ学問自体から遠のいているので、数学よりはまず算数から？みたいな体たらくなんです。でもでも学問として数学を学んだ学生当時にはともすれば苦痛にもなりかねなかった位相幾何学なのに、つい最近、ゼミの教本を見つけてから気になってしまってます。ドーナツのお話は聞いたことがありますが、ドーナツをかじってしまうと位相幾何学手には異なる、というヤツですね。久々にゼミの友人とも語り合ったりして、また考察を深めたいと思います。回答ありがとうございました！

回答No.4

graphaffine

khaos2015さん、今晩は。
位相幾何は大学で初めて出てくるかなり抽象度の高い
分野です。一般の人に説明するのはかなりやっかいですね。

従って、厳密性を欠くのはしょうがないと思いますが
（位相幾何の説明として）路線図を用いるのは誤っています。

何故なら、位相が定義されていないからです。
それに、通常は図形（線を含む)は点の集合ですが、路線図の点と線にはそのような関係はないですよね。

要するに、路線図は組合せ的構造の表現であって、
幾何学的構造の表現ではないと言うことで、説明としてはsanoriさんのものがよさそうですね。

お礼

回答ありがとうございます。

路線図は間違いですか！イケると思ったのですが、位相の定義と言われると、ちょっと認識不足な印象も持ちます。路線図見て、「位相幾何学だよ」なんて発言する前に教えていただいてよかったです！

あと、ふと思いついたのですが。。。

自宅にいる私にとって、遠距離恋愛している彼との関係は、隣の家のオジサンと同じ。でもケージの中に入ってるわんことの関係は違う。

どうでしょうか？

回答No.3

apple-man

私でしたら中学校の幾何から話をつなげます。

図形というのは、点と線の組み合わせで
表現できる。形が同じというのは
線の数と点の数とその位置関係が
同じということ。

２つの図形があって、２つとも
１）形も大きも同じ場合、合同と言う
２）形だけ同じ（大きさが違ってもいい）場合は相似と言う。
（ここまでは中学校の話ですから文系でも
分かるでしょう）

　形が違っても、点と線の数が同じなら
２つの図形は同じだとする考えがあって、
これを同相と言う。（ちょっとアバウトですが）

　この同相かどうかということで図形を
考える数学（幾何学）を位相幾何学
と言う。

　同相という考えで物を考えると
本質が分かりやすく場合があり、
その一例が（No.1の方も挙げられて
いる）路線図。

　路線図は実際の路線と大きさが違う
（あたりまえですが、合同じゃないって
ことですね。）

　路線図は実際の駅間隔も正確に表して
いない
（路線図上で離れているほうが遠くの駅とは
限らない。これもあたり前ですが相似でも
ないという意味です）

　でも路線図は実際の電車、地下鉄に乗る
際の参考になる。点（駅）の個数とそれらを
結ぶ線（線路）の関係が同じ、つまり同相
だから。
　このように同相である事がいろいろな
応用に繋がるので、それを研究している
のが位相幾何学という分野。別に路線図
ばかり研究しているわけではないが・・・

といった感じでどうでしょうか？

お礼

点と点が対応することを例に出すと、路線がいちばん分かりやすいですね。車内に掲示されている路線図見ながら、「これってある種トポロジなんだよー」なんてさらっと言ってみたいですね。
もう位相幾何学から遠のいてしまってますが、また学生時代の教本取り出して眺めてたりしてます。
遠のいてからホントの面白さに最近、気がつきました。もっと勉強しておけばよかったなー

回答No.2

sanori

第１問
トレーナーの下にランニングシャツを着ている人の、トレーナーを脱がせず、体も手も動かさせずに、ランニングシャツだけ脱がせることができるか？
→答え：脱がせる
　（かなりランニングシャツの一部を伸ばさないといけないが）
したがって、ランニングシャツはトレーナーの「内側」にあるわけではない。

ちなみに、ブラジャーも同じことです。
体や手を曲げたとしても、取り出すことができるならば、それは「内側」ではない。

第２問
大きな風船の中に入れてある小さな風船を取り出すことができるか？
→答え：大きな風船を違う図形（穴の開いた袋＝位相的には平たい１枚の紙と同じ図形）に変身させないと取り出せない。
ということは、位相幾何学的には「取り出せない」ということと同じ意味になる。
小さな風船は大きな風船の「内側」。

これが位相幾何学の考え方だ！　と言っておけばいいんですよ。

・・・くれぐれも周囲の女性の服で実験されませんように。

お礼

とてもおもしろい回答ありがとうございました。
これは使えますね。

＞・・・くれぐれも周囲の女性の服で実験されませんように。

私が実演して・・・笑！

回答No.1

noname#7749

> 身近な日常生活にたとえて
地図を引き合いに出すのが一番判りやすいと思われます。

メルカトール図法で書かれた地図では、高緯度地方ほど縮尺率の歪みが大きく、グリーンランドの面積が見た目上オーストラリアと余り変らないという、おかしなことになっていますが、それでも地図として実用に耐えられる (使用目的次第ですが) のは、地図の利用者が求める情報は距離感や地形だけではないからです。
地下鉄やバスの路線図も同様で、距離や路線の形状は実物に忠実ではありませんが、トポロジーが正しければ、経路探索にはじゅうぶん役に立つものです。

土地鑑がない場合、距離感が掴めないと辛いものがありますが....。

有名なオイラーの「一筆書き」問題を題材に説明するのもおもしろいかもしれません。

お礼

早々の回答ありがとうございます。
地図を引き合いに出すのは実際に図形が見えていいアイデアですね。地球という立体を地図という平面で表現することも気に入りました。
そういえばゼミの先生は、任意の2点を通る直線は何本？というなぞなぞを出したことを思い出しました。そのときの答えは「無数」。そして経線を例にあげていました。あれもトポロジの理念からでたなぞなぞだったのかな？