コンプリートガチャの問題

質問

3種類のガチャがでるコンプリートガチャで、3枚とも出る確率が等しい場合は、
　　3×（1/1+1/2+1/3)=11/3≒４回
で約4回で全部そろうのですが、3枚の確率が（2/5、2/5、1/5）のときなど、当確率でないときはどのように考えあらいいでしょうか。
1枚目は必ず新しいカードですが、2枚目ひいたときにそれが新しいカードである確率（または期待値）が分からないでいます。
ご教授お願いします。

回答No.6

nag0720 · ベストアンサー

期待値を求めたいなら、普通に、n枚目でコンプリートする確率P(n)を求めて、
Σ[n=1～∞]n*P(n)
を計算すればいいのでは。

n枚目でコンプリートするには、n-1枚目までに2種類のカードがそろっていて、n枚目に残りのカードを引けばいいのだから、

P(n)={(1-p)^(n-1)-q^(n-1)-r^(n-1)}p+{(1-q)^(n-1)-p^(n-1)-r^(n-1)}q+{(1-r)^(n-1)-p^(n-1)-q^(n-1)}r 　（n≧2）

お礼

早々の書き込みありがとうございます！！

＞n枚目でコンプリートするには、n-1枚目までに2種類のカー
＞ドがそろっていて、n枚目に残りのカードを引けばいいのだ
＞から、

の部分で、
１．3枚カードがあるので2枚目でそろうことはないのでは
２．３つある｛　｝の中の解釈が・・・

よく分かりません。
しつこくすみませんが、アドバイスをお願いします。

回答No.9

nag0720

＞Σ[n=1～∞]n*p^(n-1)=1/(1-p) (0<p<1)

違います。
Σ[n=1～∞]n*p^(n-1)=1/(1-p)^2

http://minami106.web.fc2.com/math/series.pdf

お礼

！！！
深夜にもかかわらずありがとうございます。
やっと解決しました。
達人ですね！

回答No.8

nag0720

＞3*（１/1+1/2+1/3)にならないような気がします。

No.5にも書きましたが、Σ[n=1～∞]n*P(n)を計算すると、
1/p+1/q+1/r-1/(1-p)-1/(1-q)-1/(1-r)+1
になります。
これに、p=q=r=1/3を代入すれば、11/2になります。

お礼

毎回、丁寧な書き込みありがとうございます。

＞No.5にも書きましたが、Σ[n=1～∞]n*P(n)を計算すると、
＞1/p+1/q+1/r-1/(1-p)-1/(1-q)-1/(1-r)+1

が導出できません・・・。

Σ[n=1～∞]n*{(1-p)^(n-1)-q^(n-1)-r^(n-1)}p
を計算する際、
Σ[n=1～∞]n*p^(n-1)=1/(1-p) (0<p<1)
を用いると思うのですが・・・。計算すると０になってしまいます。無限級数なので簡単にばらせないのかもしれませんが・・・。ここのところをもう少しお願いします。

回答No.7

nag0720

＞3枚カードがあるので2枚目でそろうことはないのでは

そのとおりですが、P(2)=0なので、あえてn≧2としています。
本当は、n≧1であればすっきりするのですが、P(1)≠0なので、n≧2にしています。

＞３つある｛　｝の中の解釈が・・・

｛　｝の中は、n-1枚目までに2種類のカードがそろう確率です。
3種類をA,B,C、その確率をp,q,r（p+q+r=1）として、
n-1枚目までがBまたはCである確率は(q+r)^(n-1)=(1-p)^(n-1)
で、2種類そろっているので、すべてBの場合、すべてCの場合の確率を引いて、
(1-p)^(n-1)-q^(n-1)-r^(n-1)

お礼

早々に書き込みありがとうございました。
いろいろ考えているのですが、まだ理解できないでいます。例えば、ｐ＝ｑ＝ｒ＝1/3のときも同じ考えでいいはずですが、
P(n)=(2/3)^(n-1)-2*(1/3)^(n-1)としてΣ[n=1～∞]n*P(n)
を計算しても、3*（１/1+1/2+1/3)にならないような気がします。

回答No.5

nag0720

＞　3×（1/1+1/2+1/3)=11/3≒４回

どこからこんな式を導き出したのか分かりませんが、
同じ確率のときの期待値は5.5回です。

同じ確率でない場合は、
1/p+1/q+1/r-1/(1-p)-1/(1-q)-1/(1-r)+1
の式で求められます。

お礼

＞どこからこんな式を導き出したのか分かりませんが、
＞同じ確率のときの期待値は5.5回です。

失礼しました。計算まちがいでした。公式は、
http://en.wikipedia.org/wiki/Coupon_collector's_problem

＞同じ確率でない場合は、
＞1/p+1/q+1/r-1/(1-p)-1/(1-q)-1/(1-r)+1
＞の式で求められます。

2回目は出たガチャが同じ確率でない確率は理解できました！
が、3回目、4回目、と考えていくとき難しいです。

回答No.4

Tacosan

「何種類のカードを持っているか」を考えても無意味で, 「どのカードを持っているか」で考えないといけない.

回答No.3

Tacosan

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%83%AB%E3%82%B3%E3%83%95%E9%80%A3%E9%8E%96
というものがあります.

お礼

書き込みありがとうございます。
等確率の場合は、すでにi-1種類のカードを持っているとき、新しいカードを得る確率は、
　　　１－（すでに持っているi種類のカードをひく確率）
　　＝１－（i-1）/3
と分かるのですが、カードの重みが違うときの処理ができません。

マルコフ連鎖と何か関係あるのでしょうか？

回答No.2

kiyosatojp

それぞれの場合を考えたほうが良さそうですね。

（例）
Ａのカードが出る確率=2/5
Ｂのカードが出る確率=2/5
Ｃのカードが出る確率=1/5の時、

一番目にＡ、二番目にＢかＣが出る確率
2/5(2/5+1/5)=6/25

一番目にＢ、二番目にＡかＣが出る確率
2/5(2/5+1/5)=6/25

一番目にＣ、二番目にＡかＢが出る確率
1/5(2/5+2/5)=4/25

これを全部足して、
6/25+6/25+4/25=16/25
解答は、16/25 ということでいかがでしょうか？

お役に立てれば、幸いです。

お礼

早々にありがとうございます。回答ありがとうございました。
2枚目が新しいカードである確率はありがとうございました。
3枚目、4枚目、5枚目・・・で新しいカードをひく確率も同様に考えたいのですが、この方法だと難しいような・・・。

回答No.1

RTO

[3×（1/1+1/2+1/3)=11/3≒４回]

この計算から間違っています
「全部そろうのに必要な回数」は　無限大とも言えます
10万回引いても　同じカードだけ出続ける確率も　0ではないのですから。

お礼

早々に書き込みありがとうございます。
失礼しました。聞き方が悪かったです。
「全部そろうときの期待回数」でした。