ガウス平面上での正三角形について

質問

計算の過程に自信がないので、正しいかを確認をお願いします。

問題：a=2-i b=1+i のとき、三角形abcが正三角形になるようにcを求めよ
回答:
(2-i)^2+(1+i)^2+c^2-(2-i)(1+i)-(2-i)c-(1+i)c=0
より
c=(3+-√(9+12i))/2

ゆえにc=3/2+-(2√3+√3i)/2

このようになりましたが、図示しても正三角形かよくわかりませんでした
計算に誤りがないかをご指摘をお願いします。

回答No.4

178-tall · ベストアンサー

>…a=2-i b=1+i のとき…
>…c=3/2+-(2√3+√3i)/2

テストなのかナ？
「小数化してスプレッドシートで験算」なんぞもってのほか、という雰囲気。

ならば、別法で再算して照合の手、でも…。

[別法]
辺 a-b の中点 m ： m=(a+b)/2 = 3/2
辺 a-b の半片　 ： a-m = (1/2) - i
半片を 90 deg 回転 ： (a-m)*i = 1 + (1/2)i
さらに√3 倍　　 ： √(3)*{1 + (1/2)i}
中点 m へ加減算 ： (3/2)±√(3)*{1 + (1/2)i}

…ということで、どうやら同じところへ到達。

　　　↓

回答No.3

178-tall

>図示しても正三角形かよくわかりませんでした

正確な正三角形か否か、図示しただけではわからないのがふつうでしょうネ。

たとえば、
　(a-c)/(b-c) = e^(±i2π/3)　　　…(1)
の形になるか否か、で判定してみればいかが？

(1) は、辺 (a-c), (b-c) について、長さが等しく、偏角差が±2π/3 = ±60deg であることを意味する。
[ また、(1) から c を求めることもできます ]

回答No.2

info22_

>このようになりましたが、図示しても正三角形かよくわかりませんでした

計算は合っていますので正三角形になっているはずです。
３辺|a-b|=√5,|a-c|,|b-c|の長さが等しいこと
あるいは|a-c|=√5,(b-a)/(c-a)=e^(iπ/3) or e^(-iπ/3)となること
を確認すればいいでしょう。

>計算に誤りがないかをご指摘をお願いします。
>ゆえにc=3/2+-(2√3+√3i)/2

計算は合っています。

回答No.1

Tacosan

a, b, c の間の距離を計算すればいいのでは?