フーリエ級数展開の問題
フーリエ級数展開の問題
cを実数の定数とし、fは周期関数2πの関数で区間[-π,π)において
f(x)=
(c-2)(x+π/2) :-π<=x<0
(2c-3)(x-π/2):0<=x<π
であるとする。この時のフーリエ級数展開
a_(0)/2+Σ[n=1,∞]{a_(n)cos(nx) + b_(n)sin(nx)}
について各問に答えよ
(1)関数fが偶関数になるような定数cの値を求め、その時のフーリエ係数a_(1)の値を求めよ。
切片が同じで、傾きが逆になればいいので、
(c-2)=-(2c-3)と式を立てて
c=5/3
a_(n)=1/π∫[-π,π]f(x)cos(nx) dx
-π<=x<0の時と、0<=x<πの時とを分けて積分
a_(n)=1/π{∫[-π,0](-x/3-π/6)cos(nx) dx + ∫[0,π](x/3-π/6)cos(nx) dx}
n=1の時を求めればいいだけなのでn=1を代入して
a_(1)=1/π{∫[-π,0](-x/3-π/6)cos(x) dx + ∫[0,π](x/3x-π/6)cos(x) dx}
式の∫[-π,0](-x/3-π/6)cos(x) dx の部分を計算
部分積分で計算し、
∫[-π,0](-x/3-π/6)cos(x) dx=[(-x/3-π/6)sin(x)-cos(x)/3][-π,0]
=-1/3-1/3==-2/3
∫[0,π](x/3-π/6)cos(x) dx の部分を同じく計算
∫[0,π](x/3-π/6)cos(x) dx=2/3
よって
a_(1)=1/π{-2/3+2/3}=0
となってしまいました。0となり不安です間違っている気がすごくします。これで合っているんでしょうか？
あと、この次の小問(2)で
(2)関数fが奇関数になるような定数cの値を求め、その時のフーリエ係数b_(1)の値を求めよ。
という問題があるのですが、これはcの求め方からして分かりません。
存在しない気すらします。どのように求めればいいんでしょうか？
お礼
すみませんでした。画像を代えて質問し直しましたのでもしよろしければよろしくお願いします