高校の宿題の積分です

質問

0からπの定積分で
(e^-x)•cosx
はどのように解を求めれば良いのでしょうか？
解説では((e^-x)+1)/πとなっていますが、教科書通りにやっても((e^-x)+1)/2にしかなりません。
どなたか助けてください。

回答No.2

noname#190065

ちょっと技が必要な基本的な部分積分です。それは、J=∫e^(-x)cosxdx (0からπを省略）とでも置いて、部分積分をします。すると、その右辺の定積分が(cosx)'が入った式になります。もう一回部分積分をすると、右辺がJ を含んだ式にすることができます。Jを左辺に移項して出来上がりです。

　他には、
　(e^xsinx)' = e^xsinx + e^xcosx …(1)
　(e^xcosx)'= e^xcosx - e^xsinx …(2)
から(1)＋(2)から、2e^xcosx=(e^xsinx)' + (e^xcosx)'とやって
　∫e^xcosxdx=1/2[e^x(sinx + cosx)]=-(e^π+1)/2 (0からπを省略）
これを覚えておいて使うなんて、得意そうに塾の講師は言うかもね。

　いずれにしても宿題は、正解を出して学校に行くことではありません。あなたが一所懸命考えたなら、この問題ならきっと先生の解説があるはずですから、その時説明が頭に染み通ることでしょう。

回答No.1

yyssaa

＞定積分の結果にxは入らないでしょう。
∫(e^-x)cosxdx=(e^-x)•(sinx)+∫(e^-x)sinxdx
(e^-x)•(sinx)-(e^-x)cosx-∫(e~-x)cosxdx
∫(e^-x)cosxdx=(1/2)(e^-x)(sinx-cosx)+C(積分定数)
∫(x=0→π)(e^-x)•cosxdx=[(1/2)(e^-x)(sinx-cosx)](x=0→π)
=[(1/2)(e^-π)(sinπ-cosπ)]-[(1/2)(e^-0)(sin0-cos0)]
=(1/2)(e^-π)-[(1/2)*(-1)]={(e^-π)+1}/2