数3の問題で解いて頂きたいものがあります。

質問

この問題がわかりません。
出来れば途中の式など詳しく教えて欲しいです。

C1:x=1-cosθ、y=θ-sinθ(0≦θ≦π)
C2:y=3k(x-a)^2/3 (x≧a)
C1は半径1の円がy軸に接しながら
滑ることなく回転するサイクロイドの一部。
C1,C2は点(1, (π/2)-1)を共有し、ここで共通接線を持つ。
(1)k,aの値を求めよ。
(2)x軸、C1、C2で囲まれる図形の面積を求めよ。

よろしくお願いします！

回答No.2

noname#235638 · ベストアンサー

（１）

まずC2が点を通る条件は、π/2-1＝3ｋ（1-a)^(2/3)・・・(1)

次にそれぞれを微分します。
C1；dy/dx＝（ｄｙ/ｄθ）/（ｄｘ/ｄθ）＝（1-cosθ）/sinθ
C2；ｙ’＝2ｋ（x-a)＾（-1/3）

接戦の傾きが一致すれば良いので、
sin（π/2）/（1-cos（π/2））＝2ｋ（1-a)^(-1/3)
2ｋ（1-a)^(-1/3)＝1・・・(2)

ｋが邪魔なので、(1)÷(2)をやってみる　すると、(1-a)の指数も1となって、
3/2（1-a）＝π/2-1
1-a＝（π-2）/3
a=（5-π）/3

(2)に代入すれば、ｋ＝（（π-2）/3）＾（1/3）/2

（２）

C2は常にC1より下側にあります。
よって、求める面積S＝（S1;C1が0≦θ≦π/2で囲む面積）-（S2;C2がa≦ｘ≦1で囲む面積）
S1＝∫[0,1]ydx
＝∫[0、π/2]（θ-sinθ）sinθdθ（ｄｘ＝sinθdθとして変数変換）
＝[-θcosθ+sinθ-θ/2-1/4sin2θ]（0、π/2）（部分積分と倍角の公式利用）
＝1-π/4
S2＝∫[a、1]3ｋ（x-a)＾（2/3）dx
＝[9/5ｋ（x-a）＾（5/3）]（a,1)
＝9/5ｋ（1-a)＾(5/3)
＝9/10（1-a)^2
＝（π＾2-4π+4）/10
よって、S=S1-S2＝1-（2π＾2-3π+8）/20

も、一つの方法かな？と。

お礼

詳しく教えて下さりありがとうございました！

回答No.1

Tacosan

どこが分からんの?

補足

解き方の方針が立ちません。