微分方程式のレポート

質問

微分方程式の授業のレポートで次の問題が出されました

１．沸騰している水を室内に放置した。

・温度低下速度と室温（あるいは温度）の関係を求めよ

２．宇宙線の照射を受けた上空で放射性炭素14Cが生成され古生物の体内に吸収された。

・化石中の残留14C質量と時間の関係を求めよ
（質量の変化を表す微分方程式を示せ）

・上記微分方程式を満たす関数をひとつ示せ。

３．放射性物質が単位時間に崩壊する量はその時点での物質の量に比例する。

・この関係を微分方程式で表せ

・放射性物質の半減期を5000年とするときの比例係数を求めよ

・上記微分方程式を解け

・上記解が微分方程式を満たすことを示せ

どう回答すればいいかわからないので教えてください。

回答No.1

spring135

細かい所がわかりませんが大雑把には以下の通り。

1.温度低下速度は常温T0との温度差に比例すとすると

dT/dt=-k(T-T0)

dT/dt=d(T-T0)/dt

U=T-T0とおく。

ｄU/dt＝-kU

dU/U=-kdt

log(U)=-kt+C

U=ce^(-kt)

t=0のときU=c=Tｂ-T0　(Tbは沸点＝100℃）　

T-T0=(Tb-T0)e^(-kt)

T=T0+(Tb-T0)e^(-kt)

2.化石中の残留14Cの質量Cは

dC/dt=-kC

ｄC/C=-kdt

log(C)=-kt+d

C=De^(-kt)

t=0でC=C0とする

C＝C0e^(-kt)

3.放射性物質の量をｎとすると

dn/dt=-kn

1,2と同様にして

n=n0e^(-kt)

n/n0=e^(-kt)

n/n0=1/2のときt=Th(半減期）

すなわち

1/2＝e^(-kTh)

対数をとって

log(2)=kTh

k=log(2)/Th

n=n0e^(-(t/Th)log(2))=n0e^(log(2^(-(t/Th)))=n0(1/2)^(t/Th)

t=Thのときn=n0/2すなわち半減期の定義を満たす。

QED