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楕円の正規化条件
今、楕円の最小二乗法のプログラムを書いているのですが、正規化条件の扱いがよくわかりません。 単純に u = (A B C D E F) （1） ξ = (x^ 2 2xy y^2 2x 2y 1) (2) で、 行列 M = (1 / N ) Σ ξ・ξt (3) ξt：ξの転値 N：Σの数 の最小固有値に対する固有ベクトルをuとして採用するという計算をしているのですが、放物線になってしまいました。 標準的には A^2 + B^2 + C^2 + D^2 + E^2 + F^2 = 1 （4） が正規化条件として使われる、とあるのですが、これをどう扱っていいかわからないのです。 この論文を参考にしています http://www.iim.cs.tut.ac.jp/~kanatani/papers/newlsellipse.pdf
- wrusagi
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- ramayana
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「(N^-1)Mu = λu の最小固有値に対する固有ベクトルを求めれば良いのでしょうか？」 N が正則行列（逆行列を持つ行列）と限らないので、(N^(-1))Mu = λu という形への変形は不可能と考えるべきでしょう。引用論文の 2 ページに (3) から (8) まで 6 種類の正規化の例が挙げられていますが、 (5) を除く 5 種類では、 N が非正則行列（逆行列を持たない行列）になります。ANo.3 の N も非正則行列です。 それより、次のようにして普通の固有値の計算に帰着させることができます。まず、M が正則行列であることを仮定します。観測データには誤差が付きものですが、観測データに誤差があれば、M は必ず正則行列になります。 すると、引用論文 2 ページの (15) 式 Mu = λNu は、 M^(-1)N u = (1/λ)u と変形できます。そこで、行列 M^(-1)N の絶対値最大の固有値に対応する固有ベクトルを計算すれば、それが u になるのです。 なお、1/λ は、M^(-1)N の固有値です。もともと絶対値が最小のλを求めることになっていたので、その逆数である 1/λ に関しては、絶対値が最大のものを求めることになります。
- ramayana
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「M の最小固有値に対する固有ベクトルをuとして採用する」という方法では、 Ax^2+2Bxy+Cy^2+2(Dx+Ey)+F=0 で表される曲線が楕円であるという条件、すなわち、Ax^2+2Bxy+Cy^2 の部分が正定値２次形式であるという条件、さらに言い換えれば、AC-B^2>0 であるという条件を、どこにも使っていません。だから、推計結果が放物線や双曲線になっても何の不思議もありません。 A^2 + B^2 + C^2 + D^2 + E^2 + F^2 = 1 の条件の代わりに、引用論文の（８）式 AC-B^2 = 1 を条件とすれば、楕円だけが推計されます。 なお、A^2 + B^2 + C^2 + D^2 + E^2 + F^2 = 1 をどう扱っていいか分からない、ということですが、これは、引用論文の「重み行列N」を単位行列にする、ということです。ご質問の計算は、まさに、N を単位行列にとしておられます。
補足
詳しくありがとうございます。 (8)式を条件とした場合、重み行列Nはどうなるのでしょうか？
- alice_44
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その解法は、よく知らないが、 固有ベクトルを解にするのなら、 長さを決める規則は必要でしょう？
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x^2 + y^2 = 1 x > 0 y > 0 のときの z = x^3 + y^3 の最小値を求める問題なんですが まず x + y = t と置いて x^2 + y^2 = t^2 - 2xy = 1 ∴ xy = (t^2 - 1) / 2 ここで z = x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 -xy + y^2) = t * (t^2 - 3xy) = t * (t^2 - 3(t^2-1) /2) として微分してグラフを書いて値域を求めるんですが、 tの範囲が円のグラフから 1 < t < √2 となるのはわかるんですが、 変形の過程でいつその条件が現れてくるのか分かりません。 x + y = t とするときに t > 0 となるのと xy = (t^2 - 1) / 2 > 0 より t > 1 とするのはわかるんですが、いつ√2の条件が出てくるのでしょうか。 また、この条件は円のグラフをイメージしないとでてこないのでしょうか。 つまり a^2 = u と置くときに ∃a ⇒ u > 0 みたいな感じで、２乗の条件から出したり、 a > 0 , b > 0, a + b = 1 , a + 5 = z みたいなのがあって a = 1 - b として a を削除するときに ∃a , a > 0 ⇒ 1 - b > 0 より b < 1 みたいな感じで不等式から条件を出したりするようにはできないのでしょうか。 わかりにくくてすいません。よろしくお願いします。ちなみに強引に変形してyを消去してxで微分という方法はわかります。この方法での疑問点について答えてください。
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