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初期値問題と境界値問題について
stomachmanの回答
- stomachman
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アバウトじゃなく言うと、抽象的になっちゃいますが、 ●初期値問題は、境界値問題の特別な場合に過ぎません。 一般に空間Xで定義される関数族に関する微分方程式（いや積分方程式でも良いんですが）が与えられ、さらにXの部分集合C上で値（関数やその導関数の値など：これが境界値です）が与えられている時に、微分方程式を満たしかつC上で境界値に一致するような関数（これが解です）を求めるのが境界値問題。 境界値問題のうちで、特に空間Xが「時刻」と見なしうる座標軸を持っていて、時刻が0であるような部分集合をCとし、さらに時刻が負である部分については解を要求しない場合、これが初期値問題です。 例を挙げるとすると、N次元ユークリッド空間中で定義された関数について微分方程式（連立偏微分方程式でも何でもいいんですが、）が与えられていて、またこの空間中に曲面なり曲線なり（閉じていても開いていてもいいけど）が与えられ、その曲面上で、解がたとえば決められた値を取る。そのような解を求めよ、というのが境界値問題。さらに具体的な例を挙げるなら、かくかくの微分方程式を満たし、かつ単位球殻上で値が0になるものを求む、というような問題ですね。もっと具体的な例を挙げれば、マックスウェル方程式において、球面上で至る所電位が1であるような解を求む、みたいな。 初期値問題の方は、N次元ユークリッド空間中で定義された関数について微分方程式（連立偏微分方程式でも何でもいいんですが、）が与えられていて、またこの空間中に「時刻」と呼ばれる軸がひとつあって、時刻＝０という超平面上で境界値が与えられ、なおかつ時刻<0である部分に付いては解を求めなくて結構である、という問題です。つまりt=0において初期条件を与えたとき、その微分方程式（なり積分方程式なり）で時間発展を見るとどうなるか、それを問うわけですね。だから特に「初期値」と呼ぶだけのことです。 こんなもんでよろしいかしら。
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