極値の問題です 途中式もお願いします

質問

実数aに対して、2曲線C１:y=2logx, C2:y=logx+aの交点をＰとする。点ＰにおけるＣ１の接線とＣ2の接線とのなす角をθ(0≦θ≦π/2)
(1)点Ｐの座標を求めよ
(2)tanθをaを用いて表せ
(3)aが実数全体を動くとき、tanθのとる値を求めよ

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

(1)点Ｐの座標を求めよ

2logx=logx+a

より

logx=a

x=e^a

y=2a

P(e^a,2a)

(2)tanθをaを用いて表せ

点PにおけるC1の傾き　dy/dx=2/x=2e^(-a)=m1

C2の傾き　　　　　　　dy/dx=1/x=e^(-a)=m2

tanθ=｜m1-m2｜/(1+m1*m2)=e^(-a)/(1+2e^(-2a))

(3)aが実数全体を動くとき、tanθのとる値を求めよ

p=e^(-a)とおくと

tanθ=p/(1+2p^2)

aが実数全体のときp>0

d(tanθ)/dp=(1-2p^2)/(1+2p^2)

増減表を書くこと

p=1/√2で最大値√2/4

p=1/√2のときa=log2/2

つまりa=log2/2（自然対数）のとき最大値√2/4

　　　0＜tanθ≦√2/4

回答No.3

alice_44

(3)は、相加相乗平均の関係でもいいけど。

回答No.1

alice_44

どの問題が解りませんか？

(1)
連立方程式
y = 2 log x,
y = log x + a
を解けばよいです。

2 log x = log x + a　←(*)
を解けば済むのですが、
(*) が解けませんか？
それとも、(*)を解いた後が分かりませんか？

(2)
P における C1 の接線の傾きを tan α、
C2 の接線の傾きを tan β と置くと、
θ = |α-β| です。
グラフから 0 < α < β < π/2 を判断すれば、
θ = β-α と、tan の加法定理から、
tan θ = (tan β - tan α)/(1 + tan α tan β)
と解ります。

(1) ができていれば、
P の座標 x, y が a で表せていますから、
C1, C2 を微分すると、傾き tan α, tan β を
a で表すことができますね。

(3)
(2) で θ = f(a) の f を求めましたから、
f' を計算して、f の増減表を書けばよいです。

貴方が詰まった場所は、どこでしょう？