極限値lim(h->0)((a^h-1)/h)は

質問

ａ＾xの微分の解説で
(a^x)'=a^x・ｌｉｍ(h->0)((a^h-1)/h)
　　　=ａ＾ｘ・ｌｏｇ（ｅ）ａ
とあり詳しい説明が抜けています。

なぜ、lim(h->0)((a^h-1)/h)はｌｏｇ(e)aになるのか分かりません。
アドバイスよろしくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

f(x) = a^x のとき、

(f(x+h) - f(x))/h = (a^(x+h) - a^x)/h
= ((a^x)(a^h) - a^x)/h
= (a^x)(a^h - 1)/h,

(a^h - 1)/h = ((e^(log a))^h - 1)/h
= (e^(h log a) - 1) / h
= (e^t - 1) / (t/log a)　　　　; t = h log a で置換
= (log a) (e^t - 1)/t,

f'(x) = lim[h→0](f(x+h) - f(x))/h
= (a^x) (log a) lim[t→0](e^t - 1)/t
となります。

lim[t→0](e^t - 1)/t = 1 は、e の定義です。

お礼

回答ありがとうございます。
ｔ=hｌｏｇａで置換すると分かりやすくなるのですね。

補足

alice_44さんはｔ=hｌｏｇａで置換
回答２でnaniwacchiさんはｔ=ａ＾h－1で置換とお二人ともうまく置換されていますがどう置換するかは、私のような数学音痴にもピンとくる法則みたいなものはないでしょうか。

回答No.3

alice_44

どんな極限でも、この手順でやれば値が求まる
という方法は、ありません。というか、
そんなのあったら、つまらない。

A No.1 の変形について言えば、どうやったら
それを思いつくかの話ではなくて、あのような
変形があるから、指数関数が微積分の基本関数の
ひとつとして重用されるようになったのだし、
lim ((aのh乗)-1)/h が 1 になるような a の値
として e が発見/定義されてきたのです。
話の順番が、逆です。

お礼

数学に対する考え方がよくわかりました。
ありがとうございます。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

分子である a^h-1をそのまま tとでも置いてしまいます。
すると、h＝ log(1+t)/log(a)　（底は e）となります。

また、h→ 0のとき、tも t→ 0となります。
よって、
(a^h- 1)/h
＝ t* log(a)/log(1+t)
＝ log(a)/log{ (1+t)^(1/t) }

log{ (1+t)^(1/t) }→ log(e)＝ 1となり、log(a)が極限値となります。

お礼

回答、ありがとうございます。
ｔ=ａ＾h-1と置き換えると考えられるのですね。