数学の質問です。

質問

参考書の３次関数の増減、極値というところに、
「増加、減少のxの値を答えるときは、区間に端点を含めて考えてよい。なぜなら、例えばv=-3のとき、u<vならばf(u)<f(v)の関係が成り立つからである。」
と書いてあるのですが、理解できないので教えて下さい。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

a＜x＜b の範囲で f'(x)＞0 が成り立つとき、
a≦x≦b の範囲で f(x) は(狭義)単調増加
と言ってよい理由ですか？

平均値定理ですね。

f(x) が a≦x≦b で連続、a＜x＜b で微分可能だとします。
このとき、a≦u＜v≦b を満たす u, v に対して、
平均値定理より u＜c＜v,　f(v)-f(u)/(u-v)=f'(c)
となる c が存在します。
a＜x＜b の範囲で f'(x)＞0 であれば、
f'(c)＞0 ですから、f(v)-f(u)＞0 が成り立ちます。

a≦u＜v≦b の範囲で f(u)＜f(v) であることが示せたので、
これを「a≦x≦b の範囲で f(x) が単調増加」と言うのです。
u=a や v=b も範囲に含まれるので、単調増加の範囲は
a＜x＜b でなく a≦x≦b に取ることができます。

質問文中の「 」は、b=-3 の場合の話でしょうか？

お礼

解答ありがとうございます。
そんな定理があったのですね！

問題集の解説の中の一部分だったのでそうだと思います。