統計の問題【至急お願いします】

質問

統計の問題にほとんど手が出ません。
お恥ずかしいですがよろしくお願いします。

x1,x2,…,xnが平均μ、分散1の正規分布N(μ,1)をしている母集団からの大きさnの無作為標本であるとする。x^-=Σ[i=1→n](xi/n)と置く。帰無仮説H0:μ=0を有意水準0,05で検定する。回答に必要な記号は適宜説明して用いよ。
標準正規分布上側確率0.025の点は1.96であることを用いよ。
1)対立仮説H1:μ≠0とした場合およびμ>0とした場合の棄却域を与えよ。
2)検出力について一般的に説明し、2)で与えた2つの棄却域についてμ>0の時の検出力と比較せよ。
3)x^-の値が正であることを観測してから対立仮説をμ>0とする方法について考えを述べよ。

自作解答
2)検出力とは、対立仮説H1が正しい時に正しく仮説を棄却する確率のことを言う。
検出力=1-(第二種の過誤を犯す確率）

回答No.1

noname#227064 · ベストアンサー

3)の問題が気になったので、ついでに1)と2)についても回答しました。

1)
まずは、標本平均x^-がどんな分布に従うかを理解する必要があります。
V,Wをそれぞれ独立にN(μ1,σ1^2),W～N(μ2,σ2^2)に従う確率変数とします。
このとき、aV+bWの分布ははN(aμ1+bμ2,(aσ1)^2+(bσ2)^2)となります。
従って、標本平均x^-の分布がN(μ,1/n)であることは容易にわかるかと思います。

【対立仮説H1:μ≠0とした場合】
帰無仮説は必然的にμ=0であり、x^-が0から極端に離れた値であれば帰無仮説を棄却することになります。
帰無仮説が正しい場合、標本平均はN(0,1/n)に従いますので、
|((x^-)-0)/√(1/n)| > 1.96
つまり
x^- < -1.96√(1/n), 1.96√(1/n) < x^-
が棄却域となります。

【対立仮説H1:μ>0とした場合】
帰無仮説はμ≦0となるでしょう。
そして、x^-が極端に0より大きい値が得られたときに帰無仮説を棄却します。
先ほどと同様に、標本平均がN(0,1/n)に従うことから、棄却域は適当な定数cを用いれば
((x^-)-0)/√(1/n) > c
つまり
x^- > c√(1/n)
と表現できます。
ここで、cは標準正規分布の95%点で1.645となります。
（問題には数値が与えられていないのでcとしましたが、c<1.96であることはわかるかと思います）

2)
> 検出力とは、対立仮説H1が正しい時に正しく仮説を棄却する確率のことを言う。
> 検出力=1-(第二種の過誤を犯す確率）

「正しく仮説を棄却する確率」の部分は、誤解のないように「正しく帰無仮説を棄却する確率」と書きましょう。

次に、1)における二つの棄却域についてμ>0のときの検出力の比較をします。
両側検定の場合は、厳密には棄却域の負の領域についても考えないといけませんが、μが0より十分大きい場合は影響は及ぼさないのでここでは無視します。

さて、標本平均はN(μ,1/n)に従いますので、これがaより大きい値をとる確率P(a)は、
P(a) = Pr(x^- > a)
= Pr(((x^-)-μ)/√(1/n) > (a-μ)/√(1/n))
= 1-Pr(((x^-)-μ)/√(1/n) ≦ (a-μ)/√(1/n))
= 1-Φ((a-μ)/√(1/n))
です。
ここでΦは標準正規分布の分布関数です。
これから、対立仮説H1:μ≠0とした場合の検出力はP(1.96√(1/n))、対立仮説H1:μ>0とした場合の検出力はP(c√(1/n))であることがわかります。
P(a)は、aについて単調減少であることから、
P(1.96√(1/n)) < P(c√(1/n))
となります。
これは、対立仮説H1:μ>0とした場合の方が検出力が高いということを意味します。

3)
この場合は、x^- > 0という条件付きの分布を使って検定する方法が考えられます。
φを標準正規分布の確率密度関数とすると、x^->0という条件付きのx^-の確率密度関数は
φ(((x^-)-μ)/√(1/n)) / (1-Φ(-μ/√(1/n)))
となります。
これから、95%点を求めて、帰無仮説の下での最大値を臨界値とすれば良いでしょう。

お礼

ありがとうございます。
丁寧に書いてありわかりやすいです。

質問ですがPrというのは検出力関数がpなので区別のためにPrと書いたのでしょうか？
また
＞対立仮説H1:μ≠0とした場合の検出力はP(1.96√(1/n))
とのことですが1-Φ((a-μ)/√(1/n))の式においてa=1.96なのでP(a)=P(1.96)なのではないでしょうか？（間違いだったらすいません&訂正お願いします）

よろしくお願いします。

補足

問題にミスが有りました
1.96はこの問題には与えられていませんでした。

ですがわざわざcとおくのも面倒なので1.96と1.645は使っても構いません。
また、このような数字が与えられていない場合は自分で設定するのでしょうか？

回答No.2

noname#227064

> Prというのは検出力関数がpなので区別のためにPrと書いたのでしょうか？

そのとおりです。

> 1-Φ((a-μ)/√(1/n))の式においてa=1.96なのでP(a)=P(1.96)なのではないでしょうか？

違います。
P(a) = Pr(x^- > a)
としていますので、対立仮説H1:μ≠0とした場合の検出力はPr(x^- > 1.96√(1/n))、対立仮説H1:μ>0とした場合の検出力はPr(x^- > c√(1/n))で求めることになります。
1)の棄却域を確認してください。

お礼

ありがとうございました。
よく考えてみます。