統計の問題がわかりません。

質問

統計の問題です。
途中まで解こうと試みましたが解答・解説が無いため不可能でした。
わかる方助けて下さい。

xを二項分布B(400,p)に従う確率変数とし、p^=x/400の分布を正規分布で近似するものとする。
1)p^の分布を近似する正規分布の平均と分散を示せ。
2)x=80の時、pの近似的95%信頼区間を求めよ。
3)仮説H0:p=0,5を対立仮説H1:p>0,5に対して有意水準0,05で検定するときの棄却域を求めよ。
4)3)の検定についてp=0.55の時の検出力の求め方を示せ。

途中まで作成を試みた解答
1)
二項分布なので（np,npq)の平均と分散になると思い、平均:np=400×(x/400)=x　分散:npq=x(400-x)/400
これは間違いでしょうか？
2)で1)を用いるとP(|x-x|<1.96)=0.95？？となるような？？？

よろしくお願いします。

回答No.1

noname#227064 · ベストアンサー

途中まででもご自分の解答を載せられているので、こちらも回答しましょう。

1)
> 二項分布なので（np,npq)の平均と分散になると思い、平均:np=400×(x/400)=x　分散:npq=x(400-x)/400

前半まででOKです。
後半はpをx/400で置き換える必要はありません。

2)
ｘは平均が400p、分散が400p(1-p)の正規分布に近似できるので、x=80のときの近似的95%信頼区間は、
|(80-400p)/√(400p(1-p))| ≦ 1.96
を解けば得られます。
この不等式をそのまま解いても良いのですが、√内のpを標本比率である80/400で置き換えた
|(80-400p)/√(400×(80/400)(1-80/400))| ≦ 1.96
を解く方法の方がよく知られてます。

3)
xが十分大きいとき帰無仮説を棄却することになるのはわかっていますね。
帰無仮説が正しいときに棄却する確率を5%に抑える必要があるので、
0.05 = P(x > c)
= P((x-400×0.5)/√(400×0.5×(1-0.5)) > (c-400×0.5)/√(400×0.5×(1-0.5)))
(x-400×0.5)/√(400×0.5×(1-0.5))は標準正規分布に近似できますので、
(c-400×0.5)/√(400×0.5×(1-0.5)) = 標準正規分布の95%点
からcが求められ、x > cが棄却域となります。

4)
検出力は、p = 0.55のときx > cとなる確率のことですので、
P(x > c) = P((x-400×0.55)/√(400×0.55×(1-0.55)) > (c-400×0.55)/√(400×0.55×(1-0.55)))
(x-400×0.55)/√(400×0.55×(1-0.55))が標準正規分布に近似できるので、標準正規分布で(c-400×0.55)/√(400×0.55×(1-0.55))より大きくなる確率を求めれば良い。
となります。

お礼

ありがとうございます。
非常にわかりやすい説明で助かります。

4)は検出力の求め方を示せ　なので上のように具体的に答えを出さなくてもよいようですね。(そもそも標準正規分布表もついてない問題ですし）