因数分解

質問

α4＋β4
＝(α2＋β2)2－2α2β2
ここまでは分かるのですがコノ↓からよくわからないです。
どうしてこのような形にできるのですか？
＝(α2＋αβ＋β2)(α2－αβ＋β2)－(αβ)2
＝{(α＋β)2－αβ}{(α＋β)2－3αβ}－(αβ)2

回答No.6

KENZOU · ベストアンサー

＃２のKENZOUです。
＞＞α^4＋β^4＝(α^2＋β^2)^2－2α^2β^2　　(1)
＞と表記します。
＞A=α^2＋β^2，B=αβとおくと (1)は
＞(1)=A＾2 -2(B＾2)
＞　ではないのでしょうか？

ご指摘の通りです。もう既に答えはでているようですが、問題のポイントを探りながら蛇足を以下に。

(1)=(α^2＋β^2)^2－2α^2β^2
　　=A＾2 -2(B＾2)
　　=(A^2-B^2)-B^2（←　2B^2=B^2+B^2を活用）
　　=(A+B)(A-B)-B^2
ところで
　A+B=α^2＋β^2+αβ，A-B=α^2＋β^2-αβ，B^2=(αβ)^2
ですからこれを(1)に入れると
　(α^2＋β^2+αβ)(α^2＋β^2-αβ)-(αβ)^2　(2)

ここで”どついてさすれば元のまま”（←学生時代に数学の先生がよく言われていた）という名言を(2)に中味に適用してやります。つまり
　α^2＋β^2+αβ=α^2＋β^2+αβ+(αβ-αβ)(←ココ）
　　=α^2＋β^2+2αβ-αβ
　　=(α+β)^2-αβ　　(3)
全く同じようにして
　α^2＋β^2-αβ=α^2＋β^2-αβ+(3αβ-3αβ)（←ココ）
　　=α^2＋β^2+2αβ-3αβ
　　=(α+β)^2-3αβ　　(4)
(3)(4)を(2)に入れると
　{(α+β)^2-αβ}{(α+β)^2-3αβ}-(αβ)^2
となって最終形がでてきます。この問題のポイントは”どついてさすれば元のまま”という名言（？）の活用にあるのですね。それでは～。

お礼

遅くなってすいません。
理解できました。
ありがとうございます。

回答No.5

h_i_r_o_b_o_w

α4＋β4
＝(α2＋β2)2－2α2β2
とここまで来たら、あとは
α2＋β2＝Ａ、αβ＝Ｂにして、
＝Ａ2－２Ｂ2
＝(Ａ＋√2Ｂ)(Ａ－√2Ｂ)
＝(α2＋β2＋√2αβ)(α2＋β2－√2αβ)

じゃあ、だめなんでしたっけ？

回答No.4

h_i_r_o_b_o_w

＞＝(α2＋αβ＋β2)(α2－αβ＋β2)－(αβ)2
＞はわかったのですが
＞↓がわかりません。
＞
＞＝{(α＋β)2－αβ}{(α＋β)2－3αβ}－(αβ)2

の部分は、
＝(α2＋αβ＋β2)(α2－αβ＋β2)－(αβ)2
＝(α2＋αβ＋β2＋αβ－αβ)(α2－αβ＋β2＋2αβ－2αβ)－(αβ)2
＝(α2＋2αβ＋β2－αβ)(α2＋2αβ＋β2－3αβ)－(αβ)2
＝{(α＋β)2－αβ}{(α＋β)2－3αβ}－(αβ)2
となります。

回答No.3

mshr1962

#1のmshr1962です。
>(1)=A＾2 -2(B＾2) ではないのでしょうか？
(1)=A^2-2(b^2)=(A^2-B^2)-B^2
の様に-2(B^2)を-(B^2)-(B^2)に分けています。

#1の式で大括弧{}の後の[-]が抜けていました。すみません。
{(a2+b2)+(ab)}{(a2+b2)-(ab)}-(ab)2

補足

＝(α2＋αβ＋β2)(α2－αβ＋β2)－(αβ)2
はわかったのですが
↓がわかりません。

＝{(α＋β)2－αβ}{(α＋β)2－3αβ}－(αβ)2

回答No.2

KENZOU

α^4＋β^4＝(α^2＋β^2)^2－2α^2β^2　　(1)
と表記します。
A=α^2＋β^2，B=αβとおくと (1)は
(1)=(A^2-B^2)-B^2
　=(A+B)(A-B)-B^2
　=(α^2＋β^2+αβ)(α^2＋β^2-αβ)-(αβ)^2
　=(α^2+αβ＋β^2)(α^2-αβ＋β^2)-(αβ)^2　(2)
となりますね。ところで
　(α＋β)2=α^2+2αβ＋β^2
ですから，
　(α＋β)2-αβ=α^2+2αβ＋β^2-αβ=α^2+αβ＋β^2　(3)
　(α＋β)2-3αβ=α^2+2αβ＋β^2-3αβ=α^2-αβ＋β^2　(4)
となります。(3)，(4)を(2)に入れると
(2)={(α＋β)^2－αβ}{(α＋β)^2－3αβ}－(αβ)^2

補足

教えてくれてどうもありがとう。
あの。
すこし分からないところがあるのですが
＞α^4＋β^4＝(α^2＋β^2)^2－2α^2β^2　　(1)
と表記します。
A=α^2＋β^2，B=αβとおくと (1)は
(1)=A＾2 -2(B＾2)
　ではないのでしょうか？
頭がいっぱいいっぱいでもし、変な質問だったらすいません。

回答No.1

mshr1962

a2-b2=(a+b)(a-b)ですよね。
{(a2+b2)2-(ab)2}-(ab)2と考えれば
{(a2+b2)+(ab)}{(a2+b2)-(ab)}(ab)2
になります。