球状リングの問題

質問

図のように，球状リング（円柱状の穴がくり抜かれた球）があり，穴の高さが12cmである
ことが分かっている。このとき，球状リングの体積を求めよ。ただし，円柱の中心軸が球
の中心を通るものとする。

という問題です。

球状リングの底面の円の半径をｒ、球の半径をRとして円柱リングの体積を求めたら
V=12π(r^2-36)でした。ここからはどう制限条件を加えればいいか分かりません。
それとも、違うやり方でやるのですか。

分かる方がいらっしゃいましたら、ご教授お願いします。

回答No.5

k14i12d · ベストアンサー

図形の対称性から考えると、x>0、y>0だけ考えれば十分。
まず交点をもとめると、
y=√R^2-x^2 ∧ y=r(円柱半径)
⇔y=r ∧ x=√R^2-r^2(=6) ←∵円柱の高さが12だから。
以上より、求める体積は、
2π ∫ [0～6]{(R^2-x^2)-r^2}dxで表されます。よね？笑間違えてるかなー。
∫の中身だけ計算すると、R^2-r^2=36であることを用いて、
2π ∫ [0～6](36-x^2)dx
=2π(216-72)
=288π
あ、今度は計算結果が違ってる笑

はい。あなたのであっていたようです。

お礼

手間をお掛けしてすみませんでした。
ありがとうございました。

回答No.4

k14i12d

#3
単位換算は行っていませんが、488πになるはずですが。

お礼

早速のご解答、ありがとうございます。

回転体を計算するのですね。

自分で一回やったのですが、

V=π∫[-6,6](R^2-x^2)dx-12π(R^2-6^2)

となって結果は288πでした。k14i12dさんの結果とは微妙に違ってますが、
自分が出した式で合っていますかな。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

上下を切り取った球の体積は
球の半径をR、切り取った面間の距離をとすると

∫[-h/2～h/2]π(R^2 - x^2)dx = πh(R^2 - (1/12)h^2)

切り取った面の半径は √(R^2 - (h/2)^2) なので
くりぬく円柱の体積は

πh(R^2 - (h/2)^2) = πh(R^2 - h^2/4)

なので、円柱をくりぬいた後の体積は

πh(R^2 - (1/12)h^2) - πh(R^2 - h^2/4) =(1/6)πh^3

h = 0.12 m なので 0.000905 m^3 = 0.904 L = 905 cm^3

お礼

ありがとうございました。
別の考え方として非常に参考になりました。

回答No.2

k14i12d

#1
失礼、θでの置換はいらないようです。
素直に計算したらできます。

回答No.1

k14i12d

xy直交基底と、それ上の円の方程式(上半分の式だけで結構。)、それからy=r(定数、円柱の半径)を使って、まずそれぞれの交点を求め、あとは、回転体の体積として、求めた交点のx座標を積分区間として、図形を回転させた体積を求める。
間違える人が多いので、被積分関数に注意して下さい。
積分するさいはr、Rの関数としてでなく、それらをθを用いて表して積分するのが楽だとおもいます。
具体的な式も欲しいなら、もう一度聞いて下さい。