積分 単純計算

質問

次の問題について

曲線x^2+(y-√3)^2=4　をx軸の周りに回転させてできる図形の体積を求めよ

1.曲線は2式で書き分けできて、y=3^(1/2)±(4-x^2)^(1/2)
2.曲線y=3^(1/2)-(4-x^2)^(1/2)とy軸との交点は、x=-1,及びx=1

1.2から、体積V=
π∫[{(3^(1/2) + (4-x^2)^(1/2)}^2 (from -2 to 2) - ∫{(3^(1/2) - (4-x^2)^(1/2)}^2 (from -2 to -1) - ∫{(3^(1/2) - (4-x^2)^(1/2)}^2 (from 1 to 2)
だとわかります。

この計算ですが、x=2sixθとおいて計算をはじめてはや数日、計4,5時間ほど取り組んでいますが、一向に解けません。どこかで計算間違いしているはずですが、(上の式をwolfalphaなどに放り込むと正解が出るので)、どこで計算間違いをしているのかサッパリ分かりません。
計算方法を教えて下さい。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。
もとの図形は円なので、円の面積として積分を片付けてしまうのも一手ですね。
（x軸からの角をθとして考えれば、置換積分も難しくないかも）

で、計算を楽にする方法ですが、こういうのはどうでしょうか？
y＝√3±√(4- x^2)において、＋の方の関数を Y+、-の方の関数を　Y-と表します。
また、この関数は偶関数であるので、

V
＝ 2* [ ∫[0→2] π(Y+)^2 dx -∫[1→2] π(Y-)^2 dx ]
＝ 2π* [ ∫[0→1] (Y+)^2 dx +∫[1→2] (Y+)^2 dx -∫[1→2] (Y-)^2 dx ]
　※同じ積分区間でまとめ直し
＝ 2π* [ ∫[0→1] (Y+)^2 dx +∫[1→2] { (Y+)- (Y-) }{ (Y+)+ (Y-) } dx ]

被積分関数について、
　(Y+)^2＝ 7- x^2+ √(4- x^2)
　(Y+)- (Y-)＝ 2√(4- x^2)
　(Y+)+ (Y-)＝ 2√3

となるので、2次関数と √(4- x^2)の積分に置き換えられます。