数と式

質問

(a+b)(b+c)(c+a)+abc

を因数分解せよ。

とりあえず分解して、最低字数の文字整理をしてみました。
そこから分かりません…
( a+b+c)^3を使いますか？

回答No.1

mnakauye · ベストアンサー

こんにちは。

　あなたは、公式を使おうと言う意識が強いですね。

　　基本を抑えないと解けるようにはなりません。

　因数分解の基本は、

　　(1)　次数を考えて、低いほうで整理する

　　(2)　同次なら、文字が現れる回数が低いほうで整理する。

　　(3)　同次で、同じ回数文字があらわれるなら、どちらで整理しても良い。

　　です。この式は（３）のタイプですから、

　　ａ，ｂ，ｃどれについて整理しても良いのですから、

　　例えばａにｉしますと　全体はａでみれば二次式ですから、

　　展開して　Aa^2+Ba+C　の形になるように整理します。

　　　予式＝(b+c){ a^2+(b+c)a+bc} + abc

=(b+c)a~2+(b+c)^2a+bca+(b+c)bc

=(b+c)a^2+{b^2+3bc+c^2}a +(b+c)bc

たすきがけを考えます。

(b+c) bc bc
1 (b+c) b^2+2bc+c^2
_______________________________________________________
b^2+3bc+c^2

だから予式は、

　　　={(b+c)a+bc}{a+(b+c)}

=(ab+bc+ca)(a+b+c)

因数分解の基本ルールとたすきがけの練習をしっかりして、

　きちんとマスターしてください。

　　なぜそうするのかと言うことが理解できるようになります。

　　　最初から公式が使えればという考え方は数学の勉強法として

　　間違った方向に行ってしまいますよ。

　基本を大切に、がんばってください。

お礼

ありがとうございます(>_<)

頑張ります！

回答No.2

k14i12d

与式はa.b.cに関して対称式であることがわかります。
つまり、abcのうちどれかを同時に入れ替えても、同じ式になる。
よって因数分解されても、そのことが満たされなければ、おかしな話になるわけです。
だから、基本対称式、a+b+c、ab+bc+ca、abcのいずれかを因数にもつわけです。
以上をふまえて式を眺めてみますと、どの項も最高次数は2であるので、うえの基本対称式のいずれかの2乗、または二つの積で表されることがわかりました。
さて、定数項が無いことと、abcの項の係数が3であることをふまえると、
(与式)=(a+b+c)(ab+bc+ca)
と因数分解されそうです。
ここまでは、あくまで予想です。
展開してみると実際に正解になっているわけです。
確認してみて下さい。