積分

質問

http://www.youtube.com/watch?v=ow06ByMyPOY&feature=related
↑の問題の(2)はどうやって解くのでしょうか？

回答No.3

info22_

(1)部分積分を二回やればsin(x)だけの積分にできます。
なので特にむつかしいことは無いでしょう
∫x^2*sin(x)dx=-x^2cos(x)+2xsin(x)+2cos(x) +C (Cは任意定数)

(2)
他の方もアドバイスされているように
まず積分区間を0≦t≦xとx≦t≦πに分け、絶対値を外しましょう。
　積分区間0≦t≦xでは |x^2-t^2|=x^2-t^2(≧0)
　積分区間x≦t≦πでは |x^2-t^2|=t^2-x^2(≧0)
であるから
f(x)=∫[0→x] (x^2-t^2)sin(t)dt+∫[x→π](t^2-x^2)sin(t)dt
(0≦x≦π)
となりますね。
この積分は(1)の不定積分を使えば簡単にできるでしょう。
積分すると
f(x)=π^2-4xsin(x)-4cos(x) (0≦x≦π)
となります。
f'(x)=-4xcos(x)
となるので
0＜x≦π/2でf'(x)≦0なのでf(x)は単調減少
π/2＜x≦πでf'(x)＞0なのでf(x)は単調増加
x=0,π/2でf'(x)=0となる。
x=0で極大値、x=π/2で極小値（最小値）f(π/2)をとります。
ここでグラフの概形を書くようにして下さい。

最大値はf(0)とf(π)を比較して大きい方になります。
　f(0)=π^2-4,f(π)
f(0)<f(π)なので
最大値はf(π)=π^2+4となります。

[ポイント]
0≦x≦π、0≦t≦π,積分区間[0≦t≦x]と積分区間[x≦t≦π]で
絶対値|x^2-t^2|の絶対値がどう外れるのかをじっくり考えるようにしましょう。積分の中ではtに関係のないxは定数として扱うことも忘れないように！
f(x)のクラフの最大、最小や極値は、f'(x)を求めてその符号の変化から増減表を作ってグラフの概形を描いて求めれば計算ミスをしないで済むでしょう。(1)の部分積分法も復習して確認しておきましょう。

回答No.2

naniwacchi

明示的に現れている 0≦ x≦ πだけでなく、
積分区間より 0≦ t≦ πであることに注目。

あと f(x)の式において、積分変数は tなので xは定数扱いにして
tと xの大小関係から場合分けを導く。
もう少し突っ込んで言うと、場合分けで積分区間が分割される。

回答No.1

uen_sap

正攻法で簡単に解に到達できそうですが？

まず、やってみてどこでつまづいたか教えて下さい。

x>0の場合
t>x, t＜xで絶対値を開くことさえ忘れなければ、あとは 0＜t＜πですので、x=0, πでの場合分けが重要。

お礼

-x≦t≦xとt≦-x、x≦tの二つに分けて絶対値を外せばよいのでしょうか？