体の拡大についての質問です

質問

二次拡大は一般にガロア拡大なのでしょうか⁇直感ではそのような気がするのですが厳密に証明を与えて頂けないでしょうか⁇

回答No.2

ramayana · ベストアンサー

言えないのでは？

ガロア拡大とは、正規拡大かつ分離拡大であるような代数拡大のことです。２次拡大は、すべて正規拡大ですが、分離拡大と限りません。次の反例があります。

（反例）
K を標数 2 の体とし、 x を K 上代数的独立とする。 K に x を添加して得られる体を K(x) とする。 K(x) 上の多項式 f(Y) = Y^2 - x を考える。 y を f(Y) の根とする。 K(x) に y を添加して得られる体を K(x,y) とする。このとき、 K(x,y) は、 K(x) の非分離拡大である。なぜなら、

　　y の K(x) 上の最小多項式 = f(Y) = Y^2 – x = (Y-y)^2

となって、これは重根を持つからである。

ちなみに、(1)標数0の体、または、(2)有限体上の2次拡大は、すべてガロア拡大です。

なお、ANo.1さんが引用されている文献は

　　" nontrivial embedding is induced by a^(1/2) → -a^(1/2)"

を根拠としているようですが、これは、標数2の体に関しては間違いと思われます。

回答No.1

ur2c

たとえば
http://modular.math.washington.edu/129/ant/html/node46.html
Definition 13.1.1 (Galois)
の下にあります．