力学について質問

質問

図のように黒い台（質量M）が地面に接しています（地面と台の摩擦はなし）
つぎに赤い小物体が台に乗っています（小物体の質量は、mとします）小物体と台には摩擦があるとします。

黒い台に、力Ｆ（黒い左向きの矢印Fとする）を加えて、小物体は、滑らないとします。
紫の矢印は、小物体が台から受ける摩擦力（fとする）
青い矢印は、台が小物体から受ける力（fの反作用の力）

ここで、運動方程式を考えます。

台）　Ma = F - f (左を正とする)
小）　ma = f

ここで二つを足せば、(m + M) a= Fとなり、加速度は、F/(m+M)となる。
これって、fが０（つまり摩擦なし）でも同じ結果になりますか？
また以上の中で、何か間違いがありますか？

回答No.1

malaytrace · ベストアンサー

台に対して小物体が静止しているのであれば、両者は一体（質量M+m）と考えることができますので、当然の帰結です。
台と小物体の間に摩擦が無ければ、まったく別の（互いに力が働かない）物体と考えることになりますので、
台はMa=F
小物体はma＝0
となります。問題として出されるのは摩擦が有り動くような動摩擦力を考慮する場合と、最大静止摩擦力となる場合ですね。

回答No.3

hitokotonusi

>これって、fが０（つまり摩擦なし）でも同じ結果になりますか？

なりません。

きちんとやれば

M a(台) = F - f
m a(小) = f

ここで、一体となって動いている場合は

a(台) = a(小)

という条件が成り立っているので、これを共通のaとしてご質問のようになります。

しかし、摩擦がない場合は

M a(台) = F
m a(小) = 0

から

a(台) = F /M
a(小) = 0

となり、a(台) とa(小) を等しくおけません。

回答No.2

htms42

文字の使い方に混乱の原因があります。
小物体と台との間には力が働いています。
台の立場で見た時と小物体の立場で見たとき、この力は大きさが等しくて向きが反対です。これはどういう内容の力であるかには関係しません。（作用・反作用の法則）
しかし、２つの物体の間に働く力が作用・反作用の法則を満たすからと言って、２つの物体が同じ運動をするとは言えないはずです。それをはっきりさせるためには２つの物体の加速度を区別しておく必要があります。
　ＭＡ＝Ｆ－ｆ
　ｍａ＝ｆ

ＭＡ＋ｍａ＝Ｆ　　（式１）
これが一般的な式です。

ここで　Ａ＝ａ　であれば　ａ＝Ｆ/(Ｍ＋ｍ)　になります。
（あなたはいきなりこの場合の式を立てていることになります。条件が見えてこなくなります。）
初速度が０であって、Ａ＝ａ　であれば常に速度が同じになりますから「一体となって運動している」場合に対応します。摩擦力があって一体として運動しているというのであればｆが静止最大摩擦力以下の運動であるということです。これが成り立てば加速度に限界があるということが出てきます。Ｆにも限界が生じます。
ａ＝ｆ/ｍ≦μoｇ　
ａ＝Ｆ/(Ｍ＋ｍ)≦μoｇ
Ｆ≦μo(Ｍ＋ｍ)ｇ　　（式２）

最後の不等式が成り立たない場合は　Ｆ＞μo(Ｍ＋ｍ)ｇ　　の場合は　Ａ≠ａ　です。
μo＝０はこの場合に含まれています。台と小物体は別々の運動をします。ｆ＝０であればｍａ＝０ですから小物体は動かずに止まったままです。
μo≠０で、かつＦ＞μo(Ｍ＋ｍ)ｇ　であれば　小物体は動きますが滑ってしまって台にはついていけない　という運動をします。その場合でも台と小物体を合わせた全体の重心の加速度は一定です。その加速度の値がＦ/(Ｍ＋ｍ)です。これは（式２）の両辺をＭ＋ｍで割ると出てきます。

上の結果を言い直します。
Ｆ/(Ｍ＋ｍ)は台と小物体を合わせた全体の重心の加速度です。
一般にこの加速度は台の加速度、小物体の加速度とは一致しません。

台と小物体が一体となって運動するときはＡ＝ａですから重心の加速度も同じになります。
摩擦力についての条件はこれが成り立つ場合の吟味の中で出てくることです。