2階微分方程式の解き方

質問

ｙ''=-ｙの解き方がわかりません。
（ただし　x=0のとき、y'=0、y=1　という条件です）

解には複素数を含むと思うのですが…よくわかりません。
すいませんが教えてください。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

定係数線形微分方程式の一般解はexp(px)を含むことが証明されています。したがって

y=exp(px)　　(1)

元の微分方程式

ｙ''=-ｙ　　(2)

に代入してpに関する条件を求めることが出発点です。

(1)より

y''=(p^2)y

従って(2)から

p^2+1=0

よって

p=±i

(2)の解は

y=aexp(ix)+bexp(-ix) (3)

となります。(a,bは定数）

オイラーの定理によって

exp(±ix)=cos(x)±isin(x)

従って(3)は

y=ccos(x)+dsin(x)　　　(4)

の形で用いる方が多いです。

境界条件

＞x=0のとき、y'=0、y=1

を(4)に用いると

x=0 で　y=c=1

y'=-csin(x)+dcos(x)=d=0

従って

y=cos(x)

が解です。

お礼

丁寧に解答してくださりありがとうございました。
おかげで理解できました。

回答No.2

alice_44

方程式の両辺に 2y' を掛けてから x で積分すると、
(y')2乗 = -(yの2乗) + (定数) となります。
この式は、dy/dx = (yだけの式) と変形できますから、
変数分離形であり、x =∫(yの式)dx と変形できます。
このように変形した式をよく見ると、
右辺が arcsin の定義式になっているため、
y = (定数) sin(x + (定数)) と解けます。
ポイントは、arcsin の定数を知ってるかどうか
でしょうかね。

お礼

ありがとうございました。
公式など覚えていないことがあったので復習しておこうと思います!