三角関数

質問

0≦α＜2π，0≦β＜2πとする。
sinα+cosβ=√2，cosα+sinβ=-√2のとき
(1)sin(α+β)
(2)α，β
の値を求めよ。

ヒントとして
(1)与えられた2式の辺々を2乗して加える。

まったくわかりません。
教えてください(´；ω；`)

回答No.2

j-mayol · ベストアンサー

(1)与えられた2式の辺々を2乗して加える。
ヒント通りの作業を行いましょう。
(sinα+cosβ)^2+(cosα+sinβ)^2
=sin^2α+2sinαcosβ+cos^2β+cos^2α+2cosαsinβ+sin^2β
sin^2α+cos^2α=1,sin^2β+cos^2β=1より
=2+2sinαcosβ+2cosαsinβ
sinα+cosβ=√2，cosα+sinβ=-√2であるから
2+2sinαcosβ+2cosαsinβ=4
sinαcosβ+cosαsinβ=1　加法定理より　sin(α+β)=1
(2)
sin(α+β)=1,0≦α＜2π，0≦β＜2πよりα+β=π/2または5π/2　
ここから三角比の相互関係を用いて正弦・余弦いずれかだけの式にしてα・βの値を求めればいいのではないでしょうか。

回答No.3

birth11

(1)辺々を2乗する。
a=b. → a^2=b^2
a+b=c+d → (a+b)^2=(c+d)^2

2式の辺々を加える
a=b
c=d → a+c=b+d

a+b=c+d
a-b=c-d → (a+b)+(a-b)=(c+d)+(c-d)

回答No.1

spring135

（1）
sinα+cosβ=√2　　　　　　　(1)

cosα+sinβ=-√2　　　　　　　(2)

2式の辺々を2乗して加えるto

2sinαcosβ+2cosαsinβ+2=4

sinαcosβ+cosαsinβ=1

加法定理より

sinαcosβ+cosαsinβ＝sin(α+β)

ゆえに

sin(α+β)＝1

（2）

0≦α＜2π，0≦β＜2πより

0≦α+β＜4π

この範囲で

sin(α+β)＝1

になるのは

α+β＝π/2　または　α+β＝π/2+2π

a)α+β＝π/2のとき

cosβ=sinα

であるので(1)に代入して

sinα=√2/2

α=π/4または3π/4

a-1)

α=π/4のとき

β=π/4

これは(2)を満たさない。

a-2)

α=3π/4のとき

β=-π/4

これは

0≦β＜2π

から外れる。

b)α+β＝π/2+2πのとき

cosβ=sinα

であるので(1)に代入して

sinα=√2/2

α=π/4または3π/4

b-1)

α=π/4のとき

β=π/4+2π

これは(2)を満たさない。

b-2)

α=3π/4のとき

β=2π-π/4

これは

(2)を満たし、

0≦α＜2π，0≦β＜2π

にはいる。

答え

α=3π/4、β=7π/4