確率母関数

質問

確率母関数の問題です。

　p_{i}　=　( 1/ i ! )　p^{(i)}(0)

を数学的帰納法で示してください。　　p^{(i)}　はpのi回微分です。

Σ_{i}p_{i}=1

母関数p(z)=Σ(i=0→∞)p_{i}z^{i}

p(1)=1

p_{i}=P(X=i)が与えられています。

わかる方お願いします。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

ああ、そうか！ 帰納法が必要なのは、
基本公式 (d/dz)^i z^j = (jPi)z^(j-i) の証明だ。
統計のような応用数学を扱うときには、こんなの「既知」でいいと
思うんだけどな…　でも、御要望に沿って書いとく。

(d/dz)^k z^n = {n!/(n-k)!}z^(n-k) が、
k ≦ n を満たす非負整数 n, k について成立する
k > n のときは、(d/dz)^k z^n = 0 である。

これを、k に関する帰納法で示す。

k = 0 のとき、(d/dz)^0 z^n = z^n = {n!/n!}z^(n-0) が成立している。

k = m で成立すると仮定すると…
m ≦ n の場合、(d/dz)^(m+1) z^n = (d/dz) (d/dz)^m z^n
　　　= (d/dz) {n!/(n-m)!}z^(n-m) = {n!/(n-m)!}(n-m)z^(n-m-1)
　　　= {n!/(n-m-1)!}z^(n-m-1) となり、k = m+1 でも成立する。
m > n の場合、(d/dz)^(m+1) z^n = (d/dz) (d/dz)^m z^n
　　　= (d/dz) 0 = 0 となり、やはり k = m+1 でも成立する。

以上より、数学的帰納法によって、

回答No.2

alice_44

母関数(X の積率母関数) p が与えられているんでしょう？

p(z) = Σ[j=0→∞]p_{j}z^j を z で i 回微分して、
p^{i}(z) = Σ[j=i→∞]p_{j}・(jPi)z^(j-i) です。　　←[*]
ただし、jPi は j 個から i 個並べる順列 j!/(j-i)! のこと。

これに z = 0 を代入して、p^{i}(0) = p_{i}・(iPi)、
すなわち p_{i} = p^{i}(0) / (iPi) です。
iPi = i!/0! = i!/1 なので、p_{i} = (1/i!) p^{i}(0) となります。

p とか、見かけが似てて意味は異なる記号が混在しているので、
式がやや読みにくいですが、計算の内容は、微分することで
テイラー展開から高次微分係数を取り出しているでけです。

同じ質問の前回投稿にも書いたけれど、帰納法は要らないと思います。
あるいは、[*] を導くのに帰納法を使いたいのかなあ？
(d/dz)^i Σ[j=0→∞]p_{j}z^j = Σ[j=0→∞]p_{j}・(d/dz)^i z^j
= Σ[j=i→∞]p_{j}・(jPi)z^(j-i)
で構わないと思うのだけれど。

回答No.1

Tacosan

で質問は?

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q8143071.html