微積分学の問題です。

質問

問：x,yは実変数で条件、x^2+xy+y^2-1=0 を満たす。このときf(x,y)=xyの最大値と最小値を求めよ。
解き方も載せてください。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

私も別解。微積ということなので、多分求められているのはラグランジュの
未定乗数法だと思います。ちょっと泥臭いですが、

f(x, y) = xy, g = x^2+xy+y^2-1
h(x, y, λ) = xy + λ(x^2+xy+y^2-1)

∂h/∂x = 2λx + (1+λ)y = 0
∂h/∂y = (1+λ)x + 2λy = 0
∂h/∂λ= x^2+xy+y^2-1 = 0

x = y = 0 は ∂h/∂λ= 0 を満たさないので、λは 4λ^2-(1+λ)^2=0 ⇒λ=-1/3, 1
従って x = -y 又は x = y ここに極点があるはず。

x=yの場合

∂h/∂λ= x^2+xy+y^2-1=3x^2-1=0 ⇒ x = y = ±1/√3

x=-yの場合

∂h/∂λ= x^2+xy+y^2-1=x^2-1=0 ⇒ x = -y = ±1

以上から極大点は (x, y) = (±1√3, ±1/√3)で f(x, y) = 1/3
極小点は (x, y) =(±1, -±1) f(x, y)=-1

x^2+xy+y^2-1は楕円ですから、これが最大、最小になります。

回答No.2

Tacosan

別法:
(x+y/2)^2 + 3y^2/4 = 1
なので x+y/2 = cos θ, (√3/2)y = sin θ とおける. ここから x, y を θ で書けるので f の最大値・最小値が導ける.

回答No.1

alice_44

xx+xy+yy-1=0, xy=f を連立方程式と見て、
実数解 x,y が存在するような f の範囲が
f(x,y) の値域となる。

この連立方程式は、
(x+y)2乗=1+f, (x-y)2乗=1-3f と同値変形でき、
実数解がある条件は、1+f≧0, 1-3f≧0 である。

よって、-1≦f(x,y)≦1/3.