統計力学の解説で分からない個所があります

質問

以下のURLに載せた解説で分からないところがあります。

(ii)の解説
http://www.picamatic.com/view/9344143_DSC_0328/
(iii)の解説
http://www.picamatic.com/view/9344136_resize_20130611233720/

問.ある物質の電子の状態密度Dはε≧0 で一定値Dを持つ(ε＜ 0 では0)とし、電子の総数をNとする。
(ii）この電子系が強く縮退する場合と縮退しない場合とを区別する条件を定め、
(iii) 強く縮退している場合に比熱がTに比例していることを示せ。

まず(ii)の解説で、縮退していない条件として、いきなり(3)式で、e^(-βμ) >> 1
となっていますが、なぜいきなりこういう風に分かるのでしょうか？

次に、(iii)の解説で中の積分計算がありますが。これは解説(ii)中の(6)式と同様に計算されているのですが、私はこの(6)式の計算方法が理解できません。自分は(6)式とは別の方法で、N=Dμと導出しました。

具体的には(6)式中の2行目から3行目への変形が分かりません。
第二項では y=-(ε-μ) とおかれていて、なぜ第三項目では同じ文字yでy=ε-μ と置換されているのでしょうか。それに、第二項においては、積分範囲は0→μではないのですか？

質問を一気にしてしまい申し訳ないですが、ご教授お願いします。

回答No.2

rabbit_cat · ベストアンサー

すいません。参考書のほうが正しいです。
縮退していないときが+1が無視できるです。

フェルミ粒子では、全てのエネルギー準位について２つのスピンがとれるわけで（２種類という固定値）、結局のところ、粒子が座れる可能性のある席の数は、全てのエネルギー準位について同一です。
ですから、完全に縮退している場合には、分布関数はフェルミ準位を境にした、階段関数になるはずです。（つまり、expの項が０という極限です。）

逆に全く縮退していない（席の数が余りまくってる）場合には、粒子の分布はボルツマン分布そのもの（つまりexp）になるわけです。

お礼

返答ありがとうございます。
なるほど。そういうことだったのですね。
しかし、No.1の回答の理論はどこが間違っていたのでしょうか。
ε-μの部分のせいで、βの部分だけでexpの部分が0になったりとか無限大に発散したりという風に簡単に結論づけてはいけないのでしょうかね。

回答No.1

rabbit_cat

最初の質問。
フェルミ統計で「縮退」とは、つまり、温度が低くて全ての準位が埋まっているということです。温度が低いとβ大ですから、温度が低くなるとexpの項がどんどん大きくなっていきます。で、参考書では、とりあえず、縮退している＝＋1が無視できること、と近似しています。あくまで近似です。

後の質問。
まず、第２項と第３項は、それぞれ全く関係ない独立な定積分ですから、置換の仕方が同じである必要は全くないですよ。冷静になって考えてみれば当たり前の話です。
それから第２項の積分範囲ですが、これは近似です。３行目の前のイコールが近似記号になっているでしょう。
仰る通り、積分範囲は0からμが本当（近似でない計算）ですが、被積分関数は、μ以上で急激に小さくなりますから、本当はなかったμから∞の積分を足してしまっても、そんなに誤差ないでしょ、という近似です。
もともと、非縮退の場合は、＋1が無視できない。言い換えれば、expの項の影響は小さい、と考えていたわけですから、どうせゴミなわけで、本来ないはずのものを足してしまってもまあいいでしょ、ってことです。

wikipediaの「フェルミ分布関数」のページに、温度を変えたフェルミ分布関数のグラフがのっていますが、
温度が低い（縮退）とほぼ指数関数に、温度が高いと（非縮退）階段関数に近づくってのが理解できるでしょう。

補足

返答ありがとうございます。

2つ目の質問は理解することができました。フェルミ分布関数の特徴を再認識できて勉強になりました。

そして、最初の質問の、+1が無視できる理屈はわかりました。
しかし、rabbit_catさんと、この参考書が書いてあることが逆な気がします。参考書では、縮退していないときが+1を無視できると書いています。
しかし、私はrabbit_catさんの説明のほうが矛盾もないし、正しい気がします。これは参考書が間違っているのでしょうか？