円周率の定義について

質問

初歩的な質問なのですが、直径と円周の比が一定であるという証明を教えてください。

回答No.2

noname#199771 · ベストアンサー

これは平面のようなユークリッド空間に固有の性質です。
”曲がった”空間だと一般に成り立ちません。

平面上の2点a,bを取り、
中心a、半径r(>0)の円A
中心b、半径s(>0)の円B
を考えます。

平面上の任意の点u,vに対して平面上の写像f[u,v],g[r,s]を
f[u,v](x)=x-u+v
g[r,s](x)=(s/r)x
とすると、平面上の任意の点x,yに対して
|f[u,v](x)-f[u,v](y)|=|x-y|
|g[r,s](x)-g[r,s](y)|=(s/r)|x-y|
なので、f[u,v]は2点間の距離を変えず、g[r,s]は2点間の距離をs/r倍します。

ところで、h=f[0,b]○g[r,s]○f[a,0]とすると（○は写像の合成）h(A)=Bであり、
A上の任意の2点x,yに対して、|h(x)-h(y)|=(s/r)|x-y|です。

円周の長さを、
sup{inf{Σ[i=1～n]|x[σ(i+1)]-x[σ(i)]|;σはn個の置換,n+1と1を同一視}:円周上の点x[1],…,x[n],nは自然数}
とすれば、hによってBの円周の長さがAの円周の長さのs/r倍になることが
わかります。

比例することがわかれば、比例定数をどう置くかは趣味の問題。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.3

ramayana

円周の「長さ」をどう解釈するかにかかっています。

証明らしきものを知りたいなら、積分の初歩を理解しておくことが不可欠だと思います。なぜなら、円周と直径の比が一定であることを証明するためには、そもそも円周の長さがどんな意味なのかが定義されていなくてはならないからです。現在の数学の体系では、円周も含めて、曲線の「長さ」は、積分論の分野で定義されています。

下の証明は、積分論における「長さ」の定義を知っていることを前提にしています。もし、これが難しいと感じられるなら、まず、積分について勉強することをお奨めします。

（証明）

xy 平面の滑らかな曲線が t を媒介変数として x=f(t)、y=g(t) と表されたとする。t が a から b まで動くときのこの曲線の長さは、

　　∫[a→b]((df(t)/dt)^2 + (dg(t)/t)^2)^0.5dt

で与えられる。
　そこで、原点を中心として半径が r の円を考える。これの x>0、y>0 にあたる1/4の部分は、t = x/r を媒介変数として、

　　x = rt
　　y = (r^2 – (rt)^2)^0.5
　　0 < t < 1

で表される。よって、上の式を使えば、

　　円周の長さ = 4∫[0→1](r^2-(rt)^2)^0.5dt
　　　　　　　= 4r∫[0→1](1-t^2)^0.5dt

となる。よって、

　　円周の長さ/直径 = 円周の長さ/(2r) = 2∫[0→1](1-t^2)^0.5dt

となって、これは、r に依存しない一定値である。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

spring135

円周をn個に分割し隣接する任意の２個の分割点をA,B,中心をOとし、三角形OABを考えます。
OA=OB=r=半径です。AB＝pは２等辺三角形の底辺で分割数が同じならば半径に比例します。

p∝r

n個の三角形について底辺を足し合わせた長さnpもrに比例します。つまり半径の異なる２つの円において同じ数の分割を行ってnpを考えればnpはrに比例します。

np∝r

半径の異なる２つの円において同じ数の分割を行ってこの分割数を大きくしていくとnpがrに比例している状況は同じで、円周Lに近づきます。

lim(n→∞)np=L∝r

この比例定数が2πであるというのが円周率の定義です。つまり

L=2πr

お礼

回答ありがとうございます。