積分

質問

不定積分
∫1/（ｘ＾3-1）がわかりません。教えてください。

回答No.3

info22_

No.1です。

ANo.1の補足です。

>=(1/3)log(|x-1|)-(1/6)log(|x^2+x+1|)
> -(1/√3)tan-1(2(x+(1/2))/√3)+C
> (C1+C2+C3=Cとおく）

x^2+x+1=(x+(1/2))^2+(3/4)>0なので絶対値が外せて

=(1/3)log(|x-1|)-(1/6)log(x^2+x+1)-(1/√3)tan-1((2x+1)/√3)+C

となります。

なお、I3の部分をもう少し詳しく書くと
>I3=-(1/2)∫1/((x+(1/2))^2+(3/4))dx
x+(1/2)=uとおいて置換積分すると
　x=u-(1/2),dx=du
I3=-(1/2)∫1/(u^2+(3/4))du
u=(√3)t/2とおいて置換積分すると
　du=(√3/2)dt,t=2u/√3
I3=-(1/2)∫(√3/2)(4/3)/(t^2+1)dt=-(1/√3)∫1/(t^2+1) dt
公式∫1/(1+t^2) dt=tan^-1(t)+C'を用いれば
I3=-(1/√3)tan^-1(t)+C3(C3は積分定数)
変数をt→u→xと戻せば
I3=-(1/√3)tan^-1(2u/√3)+C3
>=-(1/√3)tan-1(2(x+(1/2))/√3)+C3
=-(1/√3)tan^-1(2x+1)/√3)+C3
となります。

回答No.2

yyssaa

＞∫1/(x^3-1)dx=∫1/{(x-1)(x^2+x+1)}dx
=(1/3)∫1/(x-1)dx-(1/3)∫(x+2)/(x^2+x+1)dx
ここで
∫1/(x-1)dx=log|x-1|+C1(積分定数)
∫(x+2)/(x^2+x+1)dx=(1/2)∫(2x+1)/(x^2+x+1)dx+(3/2)∫1/(x^2+x+1)dx
ここで
x^2+x+1=tとおくと(2x+1)dx=dtだから
∫(2x+1)/(x^2+x+1)dx=∫1/tdt=log|x^2+x+1|+C2(積分定数)
x+1/2=sとおくと
∫1/(x^2+x+1)dx=∫1/{(x+1/2)^2+3/4}dx=∫1/[s^2+{√(3/4)}^2]ds
=√(4/3)tan-1{√(4/3)(x+1/2)}+C3(積分定数)
よって、
∫1/(x^3-1)dx=∫1/{(x-1)(x^2+x+1)}dx
=(1/3)∫1/(x-1)dx-(1/3)∫(x+2)/(x^2+x+1)dx
=(1/3)log|x-1|-(1/6)∫(2x+1)/(x^2+x+1)dx-(1/2)∫1/(x^2+x+1)dx
=(1/3)log|x-1|-(1/6)log|x^2+x+1|-(√3/3)tan-1{√(4/3)(x+1/2)}
=(1/3)log|(x-1)/√|x^2+x+1||-(√3/3)tan-1{√(4/3)(x+1/2)}+C(積分定数)

回答No.1

info22_

被積分関数を以下のように部分分数に分解し、それぞれについて積分して加え合わせれば良い。
1/(x^3-1)=1/((x-1)(x^2+x+1))
=(1/3)/(x-1)-(1/3)(x+2)/(x^2+x+1)
=(1/3)/(x-1)-(1/6)(2x+1+3)/(x^2+x+1)
=(1/3)/(x-1)-(1/6)(2x+1)/(x^2+x+1)-(1/2)/((x+(1/2))^2+(3/4))

I1=(1/3)∫1/(x-1)dx=(1/3)log(|x-1|)+C1
I2=-(1/6)∫(2x+1)/(x^2+x+1)dx=-(1/6)log(|x^2+x+1|)+C2
I3=-(1/2)∫1/((x+(1/2))^2+(3/4))dx=-(1/√3)tan-1(2(x+(1/2))/√3)+C3

I=∫1/(x^3-1)dx=I1+I2+I3
=(1/3)log(|x-1|)-(1/6)log(|x^2+x+1|)
-(1/√3)tan-1(2(x+(1/2))/√3)+C (C1+C2+C3=Cとおく）