1^2009+～整数問題です。得意な方お願いします

質問

よろしくお願いします。
どこの出典かわかりませんが、

問題　　1^2009+2^2009+～+n^2009、　がn+2で割り切れないことを示せ。

です。特にほかに情報もありません。数学得意な方、よろしくお願いします。

回答No.3

nag0720 · ベストアンサー

＞nが奇数なら、S(n)+(n+1)^2009はn+2で割り切れる。
＞のところと、
＞S(n)+(2k+1)^2009-(k+1)^2009はn+2=2(k+1)で割り切れる。
＞のところがよくわかりません。

x^2009+y^2009を因数分解すると、
x^2009+y^2009=(x+y)(x^2008-x^2007*y+x^2006*y^2-・・・・-x*y^2007+y^2008)
となるのは分かりますか？（分からなかったら、右辺を展開してみましょう）
つまり、x^2009+y^2009はx+yで割り切れるということです。

これを利用すると、1^2009+2^2009+～+n^2009+(n+1)^2009　の１番最初の項と１番最後の項を足した1^2009+(n+1)^2009はn+2で割り切れる。
同様に、前から２番目の項と後ろから２番目の項を足したものもn+2で割り切れる。
nが奇数なら、２つずつのペアがすべてn+2で割り切れる。

nが偶数のときは、２つずつペアにしていくと、中央の(n/2+1)^2009が余るから、それを除いた、
S(n)+(n+1)^2009-(n/2+1)^2009 がn+2で割り切れる。

＃１で(n+1)^2009を追加すると書きましたが、考え方は同じですが、追加するより1^2009の項を除いたほうが簡単でしたね。

回答No.2

B-juggler

ちょっととんでもないね～。

Ｎｏ．１さんのを足すつもりもないけれど、

ｎが奇数のとき。
Ｓ（ｎ）＋（ｎ＋１）＾２００９　ｍｏｄ　ｎ＋２　＝０

これは簡単に。　ｎ＝１　で考えてみたら？

１＾２００９　＋２＾２００９　＝　２＾２００９　＋１

２＾２００９　がどうなるか？　を考えればいいだけで。

２＾１＝２　、２＾３＝８、２＾５＝３２、２＾７＝１２８・・・
　＃今奇数乗だけ上げてる。

これは帰納法で証明できるよ。　２＾（奇数）　＋１　ｍｏｄ　３＝０

２＾（奇数）の各桁の和は　かならず、２、５、８　のいずれか。
それに　＋１　するのだから、　３で割れるね？

わからないときは小さい数字から考えていけばいい。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

早速、解答していただいてありがとうございます。
とんでもない、は問題が、ということですか？
出典がわからないのですが、大学以上の知識が必要なのでしょうか。不案内ですみません。教えていただけるとありがたいです。よろしくお願いします。

回答No.1

nag0720

S(n)=1^2009+2^2009+～+n^2009

もう１つ項を追加して、
S(n)+(n+1)^2009=1^2009+2^2009+～+n^2009+(n+1)^2009
を考える。

nが奇数なら、S(n)+(n+1)^2009はn+2で割り切れる。
(n+1)^2009はn+2で割り切れないので、S(n)もn+2で割り切れない。

nが偶数のときは、n=2kと置くと、
S(n)+(2k+1)^2009-(k+1)^2009はn+2=2(k+1)で割り切れる。
(k+1)^2009はk+1で割り切れるが、(2k+1)^2009はk+1で割り切れないので、S(n)はk+1で割り切れない。
よってn+2でも割り切れない。

お礼

早速、お答えくださってありがとうございます。
教えていただきたいのですが、
nが奇数なら、S(n)+(n+1)^2009はn+2で割り切れる。
のところと、
S(n)+(2k+1)^2009-(k+1)^2009はn+2=2(k+1)で割り切れる。
のところがよくわかりません。
詳しく教えていただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。