積分の面積問題です。

質問

2x^2-2xy+y^2=4で囲まれた面積を求めよという問題で、この式からなぜ楕円形ということがわかって、しかもちょっとだけ傾いた形になるのですか？面積の求め方といっしょに教えてほしいです。お願いします。

回答No.4

noname#199771 · ベストアンサー

固有値とか使わないでも形が分かる方法。

x^2+(x-y)^2=2x^2-2xy+y^2=4なので、
x^2≦4かつ(x-y)^2≦4
∴|x|≦2かつ|y|≦|x|+|x-y|≦2+2=4
となります。

つまり2x^2-2xy+y^2=4を満たす(x,y)の集合は
-2≦x≦2,-4≦y≦4という矩形（長方形）の中
にすっぽり納まります。

そういう図形は空集合か1点集合か楕円しか
ありません。

回答No.3

anisakis

http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n27149
ここ読んでみてください

結局楕円の標準形
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1の
(x,y)座標を回転させているから傾いているんです

面積の求め方はリンク先に2通りありますしどちらか好きなほうで

もし質問者さんが大学生なら固有値　固有ベクトル
2次形式　標準形を復習しておきましょう