n次関数のグラフの有理点の個数の可能性
2次関数y=ax^2+bx+c（ただし、a,b,cは実数）の有理点の個数rの可能性は、r=0,1,2,∞で、r≠3,4,…
(証明：r=0,1,2となる例をあげる。また、少なくとも有理点が3個あれば、実際は∞個あることを示す。）
(a,b,c)=(1,1,√2)のとき、r=0
(a,b,c)=(1,√2,1)のとき、r=1
(a,b,c)=(√2,√2,1)のとき、y=√2x(x+1)+1なので、r=2
もし、少なくとも3個の有理点を持つとすると、2次関数の形は決定し、それはラグランジュ補間の公式を考えて、a,b,cは有理数となり、結局は有理点を∞個持つことになる。
(別解：a,b,cが有理数か無理数か2^3通りで場合わけ)
(a,b,c)=(有,有,有)のとき、x=有ならy=有なので、r=∞
(a,b,c)=(有,有,無)のとき、x=有ならy=無なので、r=0
(a,b,c)=(有,無,有)のとき、有理点は(x,y)=(0,c)のみなので、r=1
(a,b,c)=(無,有,有)のとき、有理点は(x,y)=(0,c)のみなので、r=1
(a,b,c)=(有,無,無)のとき、y=無x+無となり、r=0,1
(a,b,c)=(無,有,無)のとき、y=無x^2+有x+無となり、y=√2x^2+x-√2の例を考えて、r=0,2
(a,b,c)=(無,無,有)のとき、y=x(ax+b)+cとなり、(x,y)=(0,c)は必ず有理点。-b/aが有理数だったら、(x,y)=(-b/a,c)も有理点となるので、r=1,2
(a,b,c)=(無,無,無)のとき、y=√2x^2+√3x+√6ならr=0。
y=√2x^2+√3x-√2-√3=√2(x^2-1)+√3(x-1)ならr=1。
y=√2x^2+√2x-2√2=(x-1){√2(x+1)+√2}ならr=2。
以上のことをn次関数で考えるとどうなるのでしょうか？
できれば、上で言う(証明)と(別解)の両方を考えたいです。
お礼
ありがとうございました。