階差数列の公式について

質問

階差数列の公式って
an=a1+[bn シグマのやつ]

ですけど、log an =log a1 +[bn シグマのやつ]
って成り立ちますか？

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

an=a1+Σ[k=1,n]bk
an>0(n=1,2,3,…)
の時
log(an)=log(a1+Σ[k=1,n]bk)
であれば成り立ちます。

回答No.2

alice_44

a(n+1) - a(n) = b(n) の b(n) が既知のとき
a(n) = a(1) + Σ[k=1→(n-1)] b(k) であることの類似が、
log a(n) についても成り立つか？ という意味であれば、

a(n+1) / a(n) = b(n) の b(n) が既知のとき
a(n) = a(1) ・ Π[k=1→(n-1)] b(k) なら成り立ちます。

∀n, b(n)>0 であれば、対数をとって
log a(n) = log a(1) + Σ[k=1→(n-1)] log b(k) です。
（a(n+1) - a(n) = b(n) については、こんな風にはなりません。）

上記に現れた Π は、「総積記号」です。
Σ[k=1→m] b(k) = b(1) + b(2) + … + b(m) であるのに対し、
Π[k=1→m] b(k) = b(1) ・ b(2) ・ … ・ b(m) を表します。