大学の微分についての問題

質問

(1)k→∞　が　（１＋１／ｋ）＾ｋ　＝　e のとき、ｋ→∞　の　（１－４／５ｋ）^２ｋを求めよという問題がわかりません。

２ｋ＝ｎで解けるのかと思ったのですが、８／５ｎのところが計算できなくて、つまってしまいました。

(2)ｋ→０　がsink/k=1 なら、sin(-k)/4kの値を求めよという問題で、

sin(-k)=-sinkより、答えは－１／４だと思ったのですがこれで間違いないでしょうか

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)
L=lim(k→∞) (1-4/(5k))^(2k)
なら
5k/4=nとおくと
L=lim(n→∞) (1-1/n)^(8n/5)
1/L=lim(n→∞) (1-1/n)^(-8n/5)
=lim(n→∞) {(1-1/n)^(-1)}^(8n/5)
=lim(n→∞) {(1+1/n+O((1/n)^2)}^(8n/5)
=lim(n→∞) (1+1/n)^(8n/5)
=lim(n→∞) {(1+1/n)^n}^(8/5)
=e^(8/5)
L=e^(-8/5)

(2)
>答えは－１／４だと思ったのですがこれで間違いないでしょうか
合ってます。

お礼

お早い回答をありがとうございます。

回答No.2

rnakamra

(1)
{1-4/(5k)}^(2k)={(5k-4)/(5k)}^(2k)
=[{5k/(5k-4)}^(-1)]^(2k)
={1+4/(5k-4)}^(-2k)

ここで t=(5k-4)/4 とおくと k=(4t+4)/5 となり
(与式)=(1+1/t)^{-2(4t+4)/5}
=(1+1/t)^{-(8/5)t-8/5}
=[{(1+1/t)^t}^(-8/5)}*(1+1/t)^(-8/5)]

と変形してt→∞とすればよいでしょう。

(2)
ご質問者の答えでOK.

お礼

とてもわかりやすくありがとうございました。