まったく分からなくて全然進めません。

質問

解答をお願いします。
どなたかお力を貸してください。

回答No.1

phyonco

「直角座標」は普通に言うと「直交座標」のことですね。
「球座標」は普通「極座標」とよびますが、
r^2 = x^2 + y^2 z^2
で定義されるrを動径方向座標と言います。原点から点P=（x,y,z）までの
距離ですね。スカラー場は一つしか成分がないので、
f(P) = (x^2 + y^2 + z^2)^n = r^{2n} = f(r)
と書くことが出来ます。勾配を求めるためにまずrの微分を
考えます。rをxで偏微分する（つまり、yとzは定数と考える）と、
D r /Dx = x /r
となります。これは是非ご自分で確かめて下さい。これがわかると、
rの勾配（グラディエント）
(D / Dx, D/ Dy, D/Dz) r = (x, y, z) /r
であることがわかります。(x, y, z)は原点からP点に向かうベクトルです。
この結果と、微分の公式を使うと、スカラー場fの勾配は
(D/Dx, D/Dy, D/Dz) f(r) = [D/Dr r^{2n}] × (D/Dx, D/Dy, D/Dz) r
2n r^{2n- 1} × (x, y, z) / r
= 2n r^{2n- 1} × e(P)
ただし、e(P) = (x, y, z) / r は原点からPに向かう単位ベクトル。