行列の問題です

質問

はじめまして

数学の、行列の問題で、どうしてもうまくいかない問題があるので教えてください。

問題は、
Aがどんな行列であっても、AX=XAなら、必ずX=αA＋βE とかけるか？
（Eは単位行列のことです）
です。

おねがいします。

回答No.2

alice_44

AX=XA を満たす X は、A の多項式で書くことができますが、
その多項式が一次式だとは、限りません。
A が 2 次行列の場合には、ケイリー・ハミルトンの定理より
A は 2 次の消去多項式を持ちますから、A の多項式を
消去多項式で割った余りで表示すれば、一次以下の式になります。
A が 3 次以上であれば、X を A の多項式で書く際、
2 次以上の項が残る場合があります。

回答No.1

ask-it-aurora

かけません．

たとえば3×3のべきゼロ行列
N = [
[0, 1. 0],
[0, 0, 1],
[0, 0, 0]]
をとります．ここで A = N, X = N^2 とすれば明らかに可換ですが X は単位行列 E と A の線形結合で表示することはできません．