極限についてよろしくお願いします。

質問

「一般に　lim f(x)=f(a)　という主張は正しくない。
　　　　　　x→a
その各種の例を挙げよ。」
という問題が出たんですが、僕は機械工学科の人間なのでさっぱりわかりませ
ん。各種のってことは、いろいろなタイプの例があるようなんですが・・・。
教えてください。あと、これについて書いてある参考文献やホームページがあったらそれも一緒に教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.4

taropoo · ベストアンサー

「lim f(x)=f(a)　はf(x)がaで連続である事の定義そのものです。
　x→a　　　　」
従って不連続点を持つようなf(x)の例を挙げよと言うのがこの問題の趣旨です。

f(x)が不連続になるような点の近傍でのその関数の挙動により次の４つのパターンなどに分類できます。（他にもあります。）

１．lim f(x), lim f(x)が共に存在するが、等しくない場合。
　　x→a+0　x→a-0
２．x→a±0のときf(x)は＋∞または－∞に発散する場合。
３．aの近傍で有界だが振動して一定の極限値を持たない場合。
４．振動しながら発散する場合。

１．の例としては
　　　　　　　　　　 ( 1 (x>0)
　　　　y = H(x) = {　　　　　　この関数をヘビサイド関数と言う。
　　　　　　　　　　 ( 0 (x≦0)

２．の例としては
　　　　　　 ( 1/x (x≠0)
　　　　y = {
　　　　　　 ( 0 (x=0)

３．の例としては
　　　　　　 ( sin(1/x) (x≠0)
　　　　y = {
　　　　　　 ( 0 (x=0)

４．の例としては
　　　　　　 ( (1/x)sin(1/x) (x≠0)
　　　　y = {
　　　　　　 ( 0 (x=0)

１．のような不連続点を第１種の不連続点、それ以外を第２種の不連続点と言います。

詳しくはサイエンス社発行、笠原晧司 著、「微分積分学」１章１．５をご参照下さい。

お礼

ありがとうございました。皆さんへのお礼を一番下に書きました。

回答No.5

jaiwak

sinisa さんの回答のとおり、f(x) が x＝a で不連続ならば、lim f(x)≠f(a) です。
不連続は
１．点不連続　たとえば
　　　　　x^2－1
f(x)=－－－－－　　（数研出版「数lllの教科書」より）
　　 　　　 x－1

これは x=1 で関数が定義されていないので、f(1)と記述できませんが、約分してグラフをかいてみれば分かるとおり、
lim f(x)=2
x→1
です。また、

　 　┌　x ( x≠0 )
f(x)= ┤　　　　　　　　　 （筆者が高校生のときに類例を見た）
　　　 └　1 ( x＝0 )

では、x=0 で定義はされていても、その点で不連続です。

２．跳躍不連続　たとえば
　f(x)=[x]
　いたるところで不連続ですね。たとえば x=1 で、左の極限も右の極限も存在しますが、両者が異なるので
lim f(x) が存在しません。
　x→1
しかしf(1) は存在するのです。

３．無限大不連続　たとえば
f(x)=1/x, f(x)=tanx; f(x)=1/x^2

これは２．とどこが違うのかというと、左の極限と右の極限の少なくとも一方が∞または－∞になるという点です。発散するというタイプです。

上記の分類は「微分積分学教程」(森北出版 1988)　によりました。

お礼

ありがとうございました。皆さんへのお礼を一番下に書きました。

回答No.3

siegmund

f(x) = 1　　(x≠0)
f(x) = 0　　(x＝0)
で定義された関数 f(x) なんていうのはいかが？
明らかに
lim (x→0) f(x) = 1
ですが
f(0) = 0
ですね．

お礼

ありがとうございました。皆さんへのお礼を一番下に書きました。

回答No.2

kajuram

No. 1の回答でだいたいかかれていますが、少し正確性に欠けるので、
追記しましょう。
lim 1/x の場合
x→0
x<0の条件でxを0に近づけると、負の無限大になりますが、
x>0の条件でxを0に近づけると、正の無限大になります。
このように、xがaに近づいてくる方向によって、違う値に漸近するようような
場合、limf(x)=f(a)と書くことはできません。
　　　　x→a
また、振動するような場合もだめですね。

お礼

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回答No.1

sinisa

基本的に、f(x)が x=a で不連続ならば
lim f(x)=f(a)
が成り立たないのではと思います。

例えば、f(x)=1/x, f(x)=1/sin(x)などは x=0 では存在しませんよね。だけど lim f(x)=∞（または-∞）になったと思います。

このあたりの概念的なものは結構難しくてあまり理解できていませんが、こんな感じだったと思います。

それでは！！。

お礼

皆さん本当にありがとうございました。実はここに質問を載せたの今回が初めてで、本当に回答が来るのかどうか不安でした。皆さん本当にわかりやすく説明してくれてありがとうございました。ポイントは2人にしか分けられないのですね。皆さんにさしあげたいのですが。ポイントを受け取られなかった人は本当に申し訳ありません。このぶんのお礼は自分が答えられる分野で精一杯回答して恩返ししたいと思います。本当にありがとうございました。