証明（数学）の問題を教えて下さい！

質問

正三角形を正方形にするのですが、
添付の方法でなぜ、正方形と言えるのか
証明できません。

正三角形のＴＳに補助線を引き、

△TSD≡△RPEから、

正方形のEP+PD = ES+SD, ER+RE = DT+TD

までわかったのですが、

EP+PD = ER+REが言えません。

どなたかご指導頂ければ幸いです。

よろしくお願い致します。

回答No.4

keiryu · ベストアンサー

この方法で正三角形化は無理。これは、デュドニーのパズルですが、例えば、以下のページを参考に再考あれ。
http://homepage3.nifty.com/funahashi/suugaku/suu57.html

参考URL：

http://homepage3.nifty.com/funahashi/suugaku/suu57.html

回答No.3

j-mayol

No.2さんと別の切り口から矛盾を説明します。
補助線ＲＴを結ぶと△ＰＢＳ≡△ＲＡＴより　ＰＳ＝ＲＴ
△TSD≡△RPE　よりＥＰ＋ＰＤ＝ＳＤ＋ＰＤ＝ＰＳ　また　ＥＲ＝ＤＴだから　
ＥＰ＋ＰＤ＝ＥＲ＋ＲＥが成り立つとするならばＰＳ＝ＥＲ＋ＤＴつまりＲＴ＝ＥＲ＋ＤＴが成り立つこととなる。
ということはＲＥＤＴが一直線上に並び、しかもＤＥが一致かつＲＴの中点ということになる。
この条件の下でＲＴとＰＳが直交するということは△ＳＲＴがＳＲ＝ＳＴの二等辺三角形となる必要があるが、ＳＴ＝1/2ＡＢ　ＳＲ＝1/2ＣＱ　（中点連結定理）　ＡＢ≠ＣＱは明らかだから　ＳＲ＝ＳＴは成り立たない。したがってＥＰ＋ＰＤ＝ＥＲ＋ＲＥが成り立つとする仮定が間違っていることになる。

お礼

勉強になりました。ありがとうございました。

回答No.2

nag0720

正三角形の１辺を1として、それぞれの長さを計算してみましょう。

線分ASに点Pから下ろした垂線の足をQとすると、
PQ=1/8、QS=3√3/8だから、三平方の定理より、
PS=√7/4
△PRSは直角三角形だから、PR×RS=SP×ERより
ER=√21/14

EP+PD=√7/4≒0.661438
ER+RE=√21/7≒0.654653

正方形に近い形にはなっていますが正方形ではありません。

もし正方形だとしたら、１辺の長さは、
√(√3/4)≒0.658037
となるはずです。

お礼

勉強になりました。ありがとうございました。

回答No.1

j-mayol

証明しようとしている命題は本当に真なのでしょうか？