フーリエ変換を用いた積分

質問

∫[-∞→∞](sinx/x)^3dx をフーリエ変換を用いて解く方法はないでしょうか

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

∫[-∞→∞](sinx/x)^3dx
=∫[-∞→∞](1/x^3)((e^(ix)-e^(-ix))/(2i))^3 dx
=(i/8)∫[-∞→∞](1/x^3)(e^(i3x)-3e^(ix)+3e^(-ix)-e^(-i3x))dx
=(i/8)∫[-∞→∞](1/x^3)e^(i3x) dx
-(i3/8)∫[-∞→∞](1/x^3)e^(ix) dx
+(i3/8)∫[-∞→∞](1/x^3)e^(-ix) dx
-(i/8)∫[-∞→∞](1/x^3)e^(-i3x))dx

f(x)=(1/x^3)のフーリエ変換公式
　F(w)=i(π/2)sgn(w)w^2, (sgn(w)=1(w>0),=-1(w<0))
を適用して

=(i/8)F(-3)-(i3/8)F(-1)+(i3/8)F(1)-(i/8)F(3)
=(9π/16)-(3π/16)-(3π/16)+(9π/16)
=3π/4

お礼

ありがとうございました。