関数の問題

質問

問題２　S＝T＝｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝とし、関数f：S→Tを「f(x)={xを3で割った余り}」と定義する。例えば、f(5)=2, f(6)=0である。

(1) 関数fから生成されたSの分割P(f)を求めよ
(2) 分割P(f)から生成される集合体F(P(f))を求めよ
(3) 関数g：S→Tを「g(x)={xを2で割った余り}」と定義する。このとき、Sの分割P(f)とP(g)の上限と下限を求めよ。

宜しくお願いします。

回答No.1

alice_44

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/q223945.html
↑の人ですか？ ずいぶん時間が経っているな。

(1)
「f から生成された分割」という表現に戸惑います。
「f の値による分割(または類別)」とでも言うほうが普通です。
ともあれ、P(f) = { {0,3,6,9}, {1,4,7}, {2,5,8} }。

(2)
P(f) の各元(集合です)と S を含む最小の集合束を挙げればよいです。
P(f) の元が 3 個なので、3 元集合の冪集合を構成するのと似ています。
F(P(f)) = { {}, {0,3,6,9}, {1,4,7}, {2,5,8},
{0,3,6,9,1,4,7}, {1,4,7,2,5,8}, {0,3,6,9,2,5,8},
{0,3,6,9,1,4,7,2,5,8} }。

(3)
これも、説明無しでは題意がとりにくい。
一瞬、束 F(P(f)) における上限/下限の話かと思って混乱しますが、
S の分割が成す束の話なんですね。それでよければ、
P(g) = { {0,2,4,6,8}, {1,3,5,7,9} } と P(f) との
上限は S、下限は { {0,6}, {1,7}, {2,8}, {3,9}, {4}, {5} } です。