数列の問題を教えてください お願いします。

質問

問２ 数列{f(k)}をf(1)=7, f(5)－f(3)=144 およびf(k+2)－4f(k+1)+3f(k)=0をみたす数列とする。{f(k)}の一般項をもとめささい。

宜しくお願いします。

回答No.4

alice_44

母関数イイネ！
凡百の私は、つまらない答案を書いとく。

漸化式 f(k+2) - 4 f(k+1) + 3 f(k) = 0 の
特性方程式は x^2 - 4x + 3 = 0 で、
その解は x = 1, 3 だから、
一般解は f(k) = A 1^k + B 3^k。

初期条件を満たす係数は、
f(1) = 7 = A + 3B,
f(5) - f(3) = 144 = (A + 243B) - (A + 27B).
を解いて、A = 5, B = 2/3。

よって、f(k) = 5 + 2・3^(k-1)。
さらっと、型どおり。

回答No.3

ask-it-aurora

>f(k) = D^(k - 1) f(0) / (k - 1)! （D は x に関する微分）
失礼． f(k) = D^(k - 1) g(0) / (k - 1)! （D は x に関する微分）の間違いです．

回答No.2

ask-it-aurora

母関数を g(x) = f(1) + f(2) x + f(3) x^2 + … とおきます．この関数 g が求められれば，もとの数列は
f(k) = D^(k - 1) f(0) / (k - 1)! （D は x に関する微分）
とわかります．

条件 f(k + 2) - 4 f(k + 1) + 3 f(k) = 0 より
g(x) - 4x g(x) + 3x^2 g(x) = 7 + f(2) x - 28x
です. 条件に k = 1, 2, 3 を代入して f(5) - f(3) = 144 を使えば f(2) = 11 と計算できます．よって
g(x) = (7 - 17x)/(1 - 4x + 3x^2) = -2/(3x - 1) - 5/(x - 1)
とわかりました．したがって
f(k) = D^(k - 1) g(0) / (k - 1)! = 5 + 2*3^k．

## 母関数ってたぶん学校ではわざわざやらないけれど，知ってるとものを数えるときに機械的に計算できて便利.

回答No.1

gohtraw

f(k+2)－4f(k+1)+3f(k)=0　より
f(k+2)-f(k+1)=3(f(k+1)-f(k))
ここでf(k+1)-f(k)=g(k)　とおくと
g(k+1)=3g(k)

また、f(k+2)－4f(k+1)+3f(k)=0　においてｋ＝３とすると、f(5)=f(3)+144なので
f(3)+144-4f(4)+3f(3)=0
f(4)-f(3)=36
よってf(2)-f(1)=4

これより
g(k)=4*3^(k-1)

ここでg(k)をk=1からｎ-1まで加えると、
g(1)+g(2)+・・・・・g(n-1)＝Σ4*3^(k-1)　　（ｋの範囲は１からｎ-1）
この式の左辺はf(n)-f(1)＝f(n)-7、右辺は等比数列の和になります。